二阶系统动态响应特性与阻尼比的关系

胡寿松《自动控制原理》中第75-77页，介绍了欠阻尼二阶系统的动态过程。

无零点二阶系统传递函数

无零点二阶系统闭环传递函数：

Φ(s)=C(s)R(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2\varPhi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}= \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n^2} Φ(s)=R(s)C(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2

单位负反馈下对应开环传递函数

G(s)=ωn2s(s+2ζ)G(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta)} G(s)=s(s+2ζ)ωn2

其中，常用参数如下，他们的关系如下图

ωn\omega_nωn称为自然频率
ζ\zetaζ称为阻尼比
ζ=cos⁡(β)\zeta=\cos(\beta)ζ=cos(β),β\betaβ称为阻尼角
ωd=ωnsin⁡β=ωn1−ζ2\omega_d=\omega_n\sin\beta=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}ωd=ωnsinβ=ωn1−ζ2
σ=ωncos⁡β=ωnζ\sigma=\omega_n\cos\beta=\omega_n\zetaσ=ωncosβ=ωnζ

欠阻尼下阶跃响应动态特性

当0<ξ<10<\xi<10<ξ<1时，系统称为欠阻尼二阶系统，它的动态性能参数可以通过这些公式确定。

与阻尼比正相关
- 上升时间：tr=π−βωdt_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}tr=ωdπ−β
- 峰值时间：tp=πωdt_p=\frac{\pi}{\omega_d}tp=ωdπ
与阻尼比负相关
- 超调量：σ%=e−πξ1−ξ2×100%\sigma \% = e^{\frac{-\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\times 100\%σ%=e1−ξ2−πξ×100%
- 调节时间：
  - ts=3.5σt_s=\frac{3.5}{\sigma}ts=σ3.5(Δ=0.05\Delta=0.05Δ=0.05)
  - ts=4.4σt_s=\frac{4.4}{\sigma}ts=σ4.4(Δ=0.02\Delta=0.02Δ=0.02)

matlab绘制的动态特性与阻尼比的关系

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