线性系统的频率响应分析实验报告_动态系统的建模与分析

参考：DR_CAN

1.介绍

解决一个控制系统的问题：

对研究对象进行分析
控制器设计
测试

分析被控对象的物理特性及动态表现，在这个基础上建立数学模型，数学模型可以是动力学模型、热力学模型、流体力学模型和经济学模型等，然后在数学模型的基础上进行控制器的设计，为满足不同的要求就要应用不同的控制方法（传统控制控制、PID控制、非线性控制、自适应控制和优化控制等）,紧接着选择测试平台，可以是仿真平台、实验室模型样机和真实设备等。最后不断将实验结果与模型比较，对数学模型不断的验证和更新。

涉及的内容： 动态系统建模：

电力，KCL，KVL
流体
热力学
机械系统

拉普拉斯+微分方程 时域分析频域分析

2.电路系统建模

基础元件：

$\begin{array}[b]{|c|c|} \hline基础元件 & 单位 &符号\\ \hline电量&库仑（c）& q\\ \hline电流&安培（A）& i\\ \hline电压&伏特（V）& e\\ \hline电阻&欧姆（Ω）& R\\ \hline电容&法拉（F）& C\\ \hline电感&亨利（H）& L\\ \end{array}\\$

流速：

$i=\frac{dq}{dt}\\$

电阻电压：

$e_R=iR\\$

电量:

$q=Ce_c\\$

$e_c=\frac{1}{C}q=\frac{1}{C}\int_0^tidt\\$

电感：

$e_L=L\frac{di}{dt}=Li^{\prime}\\$

基尔霍夫定律 KCL：所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这个节点的电流的总和

$i_1+i_2-i_3-i_4=0\\$

KVL：沿着闭合回路所有元件两端的电压的代数和为零

$e_R-e=0\\$

KVL

$e_L+e_C+e_R-e=0\\$

$Li^{\prime}+\frac{1}{C}\int_0^tidt+iR=e\\$

两边求导

$Li^{\prime\prime}+i^{\prime}R+\frac{1}{C}i=e^{\prime}\\$

$L=2H$

$C=\frac{1}{4}F$

$R_1=1\Omega$

$R_2=3\Omega$

loop 1:

$e_L+e_C-e_i=0\\$

loop 2:

$e_{R1}+e_{R2}-e_C=0\\$

合并：

$e_L+e_{R1}+e_{R2}-e_i=0\\$

这是一个大圈，因此在用KVL时，不一定都用小圈，也可用大圈。

$e_L=Li_1^{\prime}=2i_1^{\prime}$

$e_C=\frac{1}{C}\int_0^t (i_1-i_2) dt=4\int_0^t (i_1-i_2) dt$

$e_{R1}=i_2R_1=i_2$

$e_{R1}=i_2R_2=3i_2$

loop 1:

$2Li_1^{\prime}+4\int_0^t (i_1-i_2) dt-e_i=0\tag{1}\\$

loop 2:

$4i_2-4\int_0^t (i_1-i_2) dt=0\tag{2}\\$

由（1）（2）式得

$2i_1^{\prime}+4i_2-e_i=0\tag{3}\\$

由（2）得

$i_2^{\prime}=i_1-i_2\\ i_2^{\prime\prime}=i_1^{\prime}-i_2^{\prime} \tag{4}\\$

由（3）（4）式得

$2(i_2^{\prime\prime}+i_2^{\prime})+4i_2=e_i\tag{5}\\$

求

$e_o$ 和

$e_i$ 的关系

$e_o=e_R=3i_2\tag{6}\\$

由（5）（6）式得

$2(e_o^{\prime\prime}+e_o^{\prime})+4e_o=3e_i\\$

小结： KVL列方程，然后消掉自己定义的电流

loop 1:

$i_1R1+(i_1-i_2)R2-e_i=0\\ \frac{16}{3}i_1-4i_2-e_i=0\tag{1}\\$

loop 2:

$(i_2-i_3)R3+i_2R4-(i_1-i_2)R2=0\\ -4i_1+9i_2-3i_3=0\tag{2}\\$

loop 3:

$\frac{1}{C}\int_0^t i_3 dt-(i_2-i_3)R3=0\\ i_3=3C(i_2^{\prime}-i_3^{\prime})\tag{3}\\$

我们的目的是找到

$e_i$ 和

$e_o$ 的关系,而

$e_o=2i_2$ ,因此想先消去

$i_1$ 和

$i_3$ ，再消去

$i_2$

由（1）（2）式得

$-4(\frac{3}{4}i_2+\frac{3}{16}e_i)+9i_2-3i_3=0\\ 2i_2-i_3-\frac{1}{4}e_i=0\tag{4}\\$

由（3）（4）式得

$2i_2-3C(i_2^{\prime}-i_3^{\prime})-\frac{1}{4}e_i=0\tag{5}\\$

（5）式还有

$i_3^{\prime}$ 没消去，为了不引入新的变量，对（4）式求导

$2i_2^{\prime}-i_3^{\prime}-\frac{1}{4}e_i^{\prime}=0\tag{6}\\$

由（5）（6）式得

$2i_2-3C(i_2^{\prime}-(2i_2^{\prime}-\frac{1}{4}e_i^{\prime}))-\frac{1}{4}e_i=0\\ 2i_2+3Ci_2^{\prime}-\frac{3}{4}Ce_i^{\prime}-\frac{1}{4}e_i=0\tag{7}\\$

只有电流

$i_2$ ，这样就可以引入

$e_o$ 了

$e_o+\frac{3}{2}Ce_o^{\prime}=\frac{1}{4}e_i+\frac{3}{4}Ce_i^{\prime}\tag{8}\\$

3.流体系统建模

流体系统的几个基本元素： 此处默认为不可压缩的均质流体

$\begin{array}[b]{|c|c|} \hline 密度 & \rho & kg/m^3 \\ \hline 流量flow rate& q & m^3/s\\ \hline体积&v& m^3\\ \hline高度hight&h&m \\ \hline压强pressure&P& N/m^2\\ \end{array}\\$

压强有三个概念，比如说对于容器的液体来说，它的高度是

$h$ ，横截面积是

$A$ ，由流体重力产生的压强称之为静压（Hydrostatic Pressure）

$\begin{aligned} P_{Hydro} & = \frac{F_{Hydro}}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{\rho V g}{A}\\ & = \frac{\rho Ah g}{A} = \frac{\rho g h}{A} = \rho g h \end{aligned}\\$

除了液体的压强以外还有大气压强，绝对压强（Absolute Pressure）

$P_{abs}=P_a+P_{Hydro}=P_a+ \rho g h\\$

测量出来的压力称为表压（Gauge Pressure）

$P_{gauge}=P_{abs}-P_a= \rho g h\\$

流阻Fluid Resistance 产生流阻的原因是流体在流动的过程中，通过一些管道连接等，这些都会阻碍流体的流动，因此会产生压差，压差和流量相关

$P_1-P_2=\rho q R\\$

$\rho q=kg/m^3\cdot m^3/s=kg/s$ :每秒钟通过横截面的流体的质量，两边的压力差越大，每秒钟流过的流体的越多。

流阻和电阻的概念非常相似

$e_1-e_2=i R\\$

理想压源

$P_2=P_1+P_s\\$

基本法则-质量守恒定律Conseration of Mass 有了基本元素，还需要基本法则把它们联系在一起，就像电路当中有基尔霍夫定律，在力学当中有牛顿定律一样，这里面我们用到的是质量守恒定律，容器内流体质量的变化

$\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t} =\dot{m}_{in}-\dot{m}_{out}\\$

式子两边除以

$\rho$

$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} =\dot{q}_{in}-\dot{q}_{out}\\$

$\Rightarrow A\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} =\dot{q}_{in}-\dot{q}_{out}\\$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} =\frac{1}{A}(\dot{q}_{in}-\dot{q}_{out})\\$

容器底部受到的压力

$P=P_a+\rho gh\\$

其动态方程为

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(P_a+\rho gh)\\ & = \rho g\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \\& = \frac{ \rho g}{A}(\dot{q}_{in}-\dot{q}_{out}) \end{aligned}\\$

进口处为

$q_{in}$ ,出口处

$q_{out}$ ，容器得横截面积为

$A$ ，出口流阻为u

$R$ ，求液面高度的动态方程

$\frac{dh}{dt}$ .

由质量守恒定律

$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} =\dot{q}_{in}-\dot{q}_{out}\\$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} =\frac{1}{A}(\dot{q}_{in}-\dot{q}_{out})\\$

流阻压差

$P_1-P_a=\rho q_{out}R\\$

$\begin{aligned} q_{out} &=\frac{P_1-P_a}{\rho R}\\ &=\frac{P_a-\rho gh-P_a}{\rho R}\\ &=\frac{gh}{ R} \end{aligned}\\$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} =\frac{\dot{q}_{in}}{A}-\frac{gh}{ AR}\\$

4.拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是控制理论的基础，它广泛的应用于工程分析当中，它可以把时域(

$t$ )上的函数变换到复数域(

$s=\sigma+jw$ )上，从而大大简化系统分析的难度和复杂程度。

$f(t) \to F(s)\\$

先从一个简单的电路系统开始，它的动态方程

$e^{'}=Li^{''}+Ri^{'}+\frac{1}{C}i\\$

定义系统的输入为

$e$ ，输出为

$i$ ，分析电流的变化。本质上就是求解微分方程的过程，假设

$g(t)$ 就是变化过程，

$g(t)$ 隐含了系统的特征，就是微分方程表现出来的内容，三者的关系其实是一个卷积的过程。因此分析这样一个系统，它涉及到了卷积和微分方程，分析和计算起来都非常麻烦，而且不是很直观。拉普拉斯变换可以帮助我们解决这些问题，通过拉普拉斯变换，微分方程变成了代数方程，卷积运算变成了乘法运算。

对时域函数

$f(t)$ 作拉普拉斯变换：

$\mathcal{L[f(t)]}=F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt\\$

$f(t)$ 是一个平面图形，经过拉普拉斯变换后三维的复数域。当

$\sigma=0$ 时，从箭头的方向看过去，就是傅里叶变换，可以看到拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。

$F(s)=F(w)=\int_0^\infty f(t)e^{-jwt}dt\\$

从上向下看就是复平面，做工程的往往会关注系统的极点和零点在复平面上的位置.

指数函数

$f(t)=e^{-at}$

的拉普拉斯变换：

$\begin{aligned} \mathcal{L}[f(t)] & = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st}dt\\ & = \int_0^\infty e^{-(a+s)t}dt\\ & = -\frac{1}{a+s} \left. e^{-(a+s)t}\right|_0^\infty\\ & = \lim_{t \to 0}-\frac{1}{a+s}e^{-(a+s)t}-(-\frac{1}{a+s})\\ & = \frac{1}{a+s} \end{aligned}\\$

拉普拉斯变换的重要性质：符合线性变换，线性变换符合叠加原理

$\mathcal{L}[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s) \\$

正弦

$\sin at$

的拉普拉斯变换：根据欧拉公式转化为复指数

$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\\$

$e^{-i\theta}=\cos \theta-i\sin \theta\\$

两式相减：

$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin \theta\\ \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\\$

$\sin at=\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\\$

因为拉普拉斯变换是一个线性变换：

$\begin{aligned} \mathcal{L}\left [ \frac{e^{iat}}{2i} \right ] -\mathcal{L}\left [ \frac{e^{-iat}}{2i} \right ] & = \frac{1}{2i} \left ( \mathcal{L}\left [ e^{iat} \right ] -\mathcal{L}\left [ e^{-iat} \right ] \right ) \\<br />& = \frac{1}{2i} \left ( \frac{1}{s-ai}-\frac{1}{s+ai} \right ) \\ & = \frac{1}{2i} \left ( \frac{2ai}{(s-ai)(s+ai)} \right )\\<br />& = \frac{a}{s^2+a^2} \end{aligned}\\$

导数的拉普拉斯变换：

$\mathcal{L}\left [ f^{'}(t) \right ] =\int_0^{+\infty}f^{'}(t)e^{-st}dt\\$

复合函数求积分，用到分部积分：

$\int_0^{+\infty}f^{'}(t)g(t)dt=f(t)g(t)-\int_0^{+\infty}f(t)g^{'}(t)dt\\$

$g(t)=e^{-st},g^{'}(t)=-se^{-st}$

$\begin{aligned} \mathcal{L}\left [ f^{'}(t) \right ]<br />& = \left . f(t)e^{-st} \right |_0^{\infty}-\int_0^{+\infty}f(t)(-se^{-st})dt\\ & = \lim_{t \to \infty}f(t)e^{-st}-f(0)-s\int_0^{+\infty}f(t)(-e^{-st})dt\\ & = sF(s)-f(0)\\ & = sF(s) \end{aligned}\\$

$F(s)$ 为拉普拉斯变换，很多时候都把初始条件设置为

$f(0)=0$ 。

同理可得

$\mathcal{L}\left [ f^{''}(t) \right ] = s^2F(s)-sf(0)-f^{'}(0)\\$

$\mathcal{L}\left [ \int_0^\infty f(t)dt \right ] = \frac{1}{s} F(s)\\$

卷积的拉普拉斯变换 能够将卷积运算变成乘积运算，大大简化运算和分析的复杂程度。

$\mathcal{L}\left [ f(t)*g(t) \right ]=F(s)G(s) \\$

回到最初的电路的动态方程：

$e^{'}=Li^{''}+Ri^{'}+\frac{1}{C}i\\$

两端作拉普拉斯变换：

$sE(s)=Ls^2I(s)+sRI(s)+\frac{1}{C}I(s)\\$

$I(s)=\frac{s}{Ls^2+sR+\frac{1}{C}}E(s) \\$

可以看到，经过拉普拉斯变换把微分方程变换为代数方程，它只有加减乘除，非常的简单。下图方框称之为传递函数。

5.拉普拉斯变换的收敛域（ROC）与逆变换（ILT）

指数函数的拉普拉斯变换：

$\begin{aligned} \mathcal{L}[f(t)] & = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st}dt\\ & = \int_0^\infty e^{-(a+s)t}dt\\ & = -\frac{1}{a+s} \left. e^{-(a+s)t}\right|_0^\infty\\ \end{aligned}\\$

如果

$s=-2a，\mathcal{L}[f(t)]$ 是发散的

$\int_0^\infty e^{-(a+s)t}dt= \int_0^\infty e^{at}dt\\$

加上限制条件，收敛域ROC（Region of lonvergence）,把

$s=\sigma+jw代入$

$\int_0^\infty e^{-at} e^{-（\sigma+jw）t}dt=\int_0^\infty e^{-(a+\sigma)t}e^{-jwt}dt\\$

根据欧拉公式：

$e^{-jwt}=\cos wt-i\sin wt\\$

$\left | e^{-jwt} \right | =\cos^2 wt+\sin^2 wt=1\\$

$e^{-jwt}$ 这一项仅仅带来的是振动，并不会对系统的收敛产生影响。因此收敛域为

$-(a+\sigma)<0\ \Rightarrow \sigma >-a\ \Rightarrow Re(s) >-a\$

前面我们已经知道，拉普拉斯能简化运算和分析，为什么还需要微分方程？因为微分方程能够描述动态世界的数学手段。

在经典控制理论和现代控制理论当中，研究对象一般是常系数微分方程，对应的系统就是线性时不变系统，如果是非线性系统的话，一般会在平衡点附近作线性化处理，或者直接采用非线性分析手段。

用拉普拉斯变换求解微分方程的三个步骤：

时域转化到复频域

$t \to s$ ,这里用到拉普拉斯变换
求解代数方程
把结果从复频域转回时域，用到拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换

例子

$\begin{aligned} F(s) & = \frac{-s+5}{s^2+5s+4}\\ & = \frac{-s+5}{(s+4)(s+1)}\\ & = \frac{A}{s+4}+\frac{B}{s+1}\\ & = \frac{A(s+1)+B(s+4)}{(s+4)(s+1)}\\ \end{aligned}\\$

$\Rightarrow A(s+1)+B(s+4)=-s+5\\$

$s=-1:\quad B(-1+4)=1+5 \Rightarrow B=2$

$s=-4:\quad -3A=9 \Rightarrow A=-3$

$F(s) = \frac{-3}{s+4}+\frac{2}{s+1}\\$

两端拉普拉斯逆变换：

$\mathcal{L}^{-1}\left [ F(s) \right ] = \mathcal{L}^{-1}\left [ \frac{-3}{s+4}+\frac{2}{s+1} \right ] \\ =-3e^{-4t}+2e^{-t}\\$

$s=-1,s=-4$ 称为极点Pole

$\begin{aligned} F(s) & = \frac{4s+8}{s^2+2s+5}\\ & = \frac{4s+8}{(s+1+2i)(s+1-2i)}\\ & = \frac{A}{s+1+2i}+\frac{B}{s+1-2i}\\ \end{aligned}\\$

$\Rightarrow A=i+2,B=-i+2$

$F(s) = \frac{i+2}{s+1+2i}+\frac{-i+2}{s+1-2i}\\$

$\begin{aligned} f(t) &=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=(i+2)e^{-(1+2i)t}+(-i+2)e^{-(1-2i)t}\\ &=e^{-t}\left ( ie^{-2it}+2e^{-2it}-ie^{2it}+2e^{2it} \right )\\ &=e^{-t}\left ( i\left ( e^{-2it}-e^{2it} \right ) +2\left ( e^{-2it}+e^{2it} \right ) \right )\\ &=e^{-t}(2\sin +4\cos 2t ) \end{aligned} \\$

其中，根据欧拉公式有

$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\tag{1}\\$

$e^{-i\theta}=\cos \theta-i\sin \theta\tag{2}\\$

(2)-(1)

$\sin 2t=-\frac{e^{-2it}-e^{2it}}{2i}\\$

$\cos 2t=\frac{e^{-2it}+e^{2it}}{2}\\$

6.拉&传&微的关系

重点讲解传递函数

这部分内容非常重要，对经典控制理论、根轨迹、伯德图、信号处理等学习都有很大的帮助，因为都是从这里伸展出去的。

流体系统

$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}+ \frac{g}{ AR}h=\frac{\dot{q}_{in}}{A}\\$

令A=1

$x=h$ 输出

$u=q_{in}$ 输入

$\dot x(t)+ \frac{g}{ R}x(t)=u(t)\\$

两端作拉普拉斯变换：

$sX(s)+\frac{g}{ R}X(s)=U(s),\quad x(0)=0\\$

$s+\frac{g}{ R}\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+\frac{g}{ R}}=G(s)\\$

$G(s)$ 称为传递函数

假设系统的输入为常数，对常数作拉普拉斯变换

$u(t)=C=Ce^0$

$\mathcal{L}[u(t)]=C\frac{1}{s+0} =C\frac{1}{s} \\$

$\begin{aligned} X(s) & = U(s)G(s) = C\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s+\frac{g}{ R}}\\ & = C\left ( \frac{A}{s}+ \frac{B}{s+\frac{g}{ R}} \right ) \\ & = C\frac{A(s+\frac{g}{ R})+Bs}{s(s+\frac{g}{ R})} \end{aligned}\\$

$s=0:A=\frac{R}{g}$

$s=-\frac{g}{ R}:B=-\frac{R}{g}$

$\begin{aligned} X(s) = C\left ( \frac{R}{g}\frac{1}{s}-\frac{R}{g} \frac{1}{s+\frac{g}{ R}} \right ) \end{aligned}=\frac{CR}{g}\left ( \frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{g}{ R}} \right )\\$

$\begin{aligned} x(t) & = \frac{CR}{g}\left ( e^{0t}-e^{-\frac{g}{ R}t} \right )\\ & = \frac{CR}{g}\left ( 1-e^{-\frac{g}{ R}t} \right ) \end{aligned}\\$

当时间

$t \to \infty$ ，系统收敛到

$\frac{CR}{g}$ 。系统的关键点在指数部分，

$0t$ 不变，

$\frac{CR}{g}t$ 随着时间不断的衰减，所以系统是稳定的。

7.一阶系统的单位阶跃响应

流体系统

动态方程：

$\dot x(t)+ \frac{g}{ R}x(t)=u(t)\\$

输出是一阶，输入是单位阶跃，称为一阶系统的单位阶跃响应 Unit Step Response.

一般形式：

$u(t)= \begin{cases} 0\quad ,t=0 \\ 1\quad,t>0 \end{cases}$

$\mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s+0} =\frac{1}{s} \\$

$X(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{a}{s+a}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}=\frac{A(s+a)+Bs}{s(s+a)}\\$

$A(s+a)+Bs=a$

$s=-a:$ B=-1

$s=0:$ A=1

两边作拉普拉斯逆变换：

$\mathcal{L}^{-1}\left [ X(s) \right ] =\mathcal{L}^{-1} \left [ \frac{1}{s}-\frac{1}{s+a} \right ]\\$

$x(t)=1-e^{-at}\\$

a越大收敛越快。

时间常数 time constant

$t=\tau =\frac{1}{a}\\$

$x(\tau)=1-e^{-a\frac{1}{a}}=1-e^{-1}=0.63\\$

即

$\tau =\frac{1}{a}$ 的时候达到最终状态的63%。

有时候还会引入另一个概念-稳定时间(Steady State)（整定时间）Setting time

$T_{ss}=4\tau\\$

$x(T_{ss})=x(\frac{4}{a})=1-e^{-a\frac{4}{a}}=1-e^{-4}=0.98\\$

对于一阶线性系统来说，时间常数是特有的，因此可以用时间常数作系统识别。

根据上一节有：

$x(t) = \frac{CR}{g}\left ( 1-e^{-\frac{g}{ R}t} \right )\\$

4秒钟达到稳定时间:

$T_{ss}=4\\$

$\Rightarrow \tau=1\\$

系统的传递函数：

$G(s)=\frac{1}{s+\frac{g}{R} } \\$

$\Rightarrow \tau=\frac{R}{g}=1\\$

$\frac{CR}{g}=5 \Rightarrow C=5\\$

一阶系统与信号处理

一阶系统是一个低通滤波器，低通滤波器只反映了低频变化，高频变化则被过滤了。对于流体系统来说，容器内的液体就起到了抵抗高速变化的作用，是因为它有积累，所以说有积累的都是低通滤波器，它对高速变化不敏感。最典型的积累就是积分，如：

$\int \cos x +\cos 100x dx=\sin x +\frac{1}{100} \sin 100x +C\\$

高频变化被缩放100倍，相当于被过滤掉了。所以说大家平时多做积累，有了容量以后面对高速变化的世界才可以做到处乱不惊。

另一个角度

一阶线性时不变系统1st order LTI：

$\dot x+ax=au,\quad t\ge 0,u=1\\$

$\dot x=a(1-x)\\$

$x(t)$ 单调增，

$\dot x$ 逐渐减小，

$x(t)$ 增加速度减缓，最后为零，可以得到一样的图。

其他情况，

$a<0,x(0) \ne 0$ 等

Phase-Portrait

8.频率响应与滤波器

信号通过线性时不变系统后频率不变

$M_i \sin(wt+\phi_i)\to M_o \sin(wt+\phi_o)\\$

振幅响应 Magnitude Response：

$\frac{M_o}{M_i}=M \\$

辐角响应 Phase Response：

$\phi_o-\phi_i=\phi\\$

一般形式：

$\begin{aligned} u(t) & = A\sin wt +B\cos wt\\ & = \sqrt{A^2+B^2}\left ( \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \sin wt +\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \cos wt \right ) \\ & = \sqrt{A^2+B^2}\left ( \cos \phi_i \sin wt + \sin \phi_i \cos wt \right ) \\ & = \sqrt{A^2+B^2} \sin (wt +\phi_i )\\ &=M_i \sin(wt+\phi_i) \end{aligned}\\$

两边作拉普拉斯变换：

$\begin{aligned} U(s) & = \frac{Aw}{s^2+w^2} +\frac{Bs}{s^2+w^2} \\ & = \frac{Aw+Bs}{s^2+w^2} \\ & = \frac{Aw+Bs}{(s+jw)(s-jw)} \end{aligned} \\$

其中，

$j=\sqrt{-1}$

$G(s)=\frac{D(s)}{N(s)} =\frac{D(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)} \\$

$p_1,p_2,\cdots ,p_n$ :极点Poles

$\begin{aligned} X(s) & = U(s)G(s)\\ & = \frac{Aw+Bs}{(s+jw)(s-jw)}\cdot \frac{D(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}\\ & = \frac{K_1}{s+jw}+ \frac{K_2}{s-jw}+\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_2}{s-p_2}+\cdots+\frac{C_n}{s-p_1}\\ & = \frac{K_1(s-jw)N(s)+K_2(s+jw)N(s)+C_1(s+jw)(s-jw)+C_2(s+jw)(s-jw)(s-p_2)\cdots (s-p_n)+\cdots }{(s+jw)(s-jw)(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}\\ & = \frac{Aw+Bs}{(s+jw)(s-jw)(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)} \end{aligned} \\$

拉普拉斯逆变换：

$x(t)=K_1e^{-jwt}+K_2e^{jwt}+C_1e^{p_1t}+C_2e^{p_2t}+\cdots +C_ne^{p_nt}\\$

对于稳定系统，

$p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 的实部小于0，有

$X_{ss}(t)=K_1e^{-jwt}+K_2e^{jwt}\\$

ss:Steady State 稳态，由上式可以看出频率响应就是稳态响应。求

$K_1,K_2$ :

$K_1(s-jw)N(s)+K_2(s+jw)N(s)+C_1(s+jw)(s-jw)\\+C_2(s+jw)(s-jw)(s-p_2)\cdots (s-p_n)+\cdots=(Aw+Bs)D(s)\\$

$s=-jw$

$K_1(-jw-jw)N(-jw)+0=(Aw-Bjw)D(-jw)\\$

$K_1=\frac{Aw-Bjw}{-2jw}\cdot \frac{D(-jw)}{N(-jw)}=\frac{B+Aj}{2}G(-jw)\\$

$s=jw$

$K_2=\frac{B-Aj}{2}G(jw)\\$

复数表达：

$G(jw)=\left | G(jw) \right | e^{j \phi_{G}}\\$

$\begin{aligned} X_{ss}(t) & = \frac{B+Aj}{2} \left | G(jw) \right | e^{-j \phi_{G}} e^{-jwt}\\ & + \frac{B-Aj}{2} \left | G(jw) \right | e^{j \phi_{G}} e^{jwt}\\ & = \frac{1}{2} \left | G(jw) \right |\left ( (B+Aj)e^{-(\phi_G +wt)j} +(B-Aj)e^{(\phi_G +wt)j}\right ) \\ \end{aligned}\\$

欧拉公式：

$\begin{aligned} e^{-(\phi_G +wt)j} & = \cos (-(\phi_G +wt))+j \sin (-(\phi_G +wt))\\ & = \cos (\phi_G +wt)-j \sin (\phi_G +wt)\\ e^{(\phi_G +wt)j} & = \cos (\phi_G +wt)+j \sin (\phi_G +wt) \end{aligned}\\$

$\begin{aligned} X_{ss}(t) = \frac{1}{2} \left | G(jw) \right | ( & B\cos (\phi_G +wt)-Bj \sin (\phi_G +wt) \\ +& Aj \cos (\phi_G +wt)+A \sin (\phi_G +wt)\\ +&B\cos (\phi_G +wt)+Bj \sin (\phi_G +wt) \\- & Aj \cos (\phi_G +wt)+A \sin (\phi_G +wt))\\ \end{aligned}\\$

$\begin{aligned} X_{ss}(t) & = \frac{1}{2} \left | G(jw) \right | (2B\cos (\phi_G +wt)+2A \sin (\phi_G +wt))\\ &=\left | G(jw) \right |\sqrt{A^2+B^2}\left ( \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \cos (\phi_G + wt)+ \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \sin (\phi_G + wt) \right ) \\ & = \left | G(jw) \right | M_i \sin(wt+\phi_i +\phi_G)\\ & = M_G M_i \sin(wt+\phi_i +\phi_G) \end{aligned}\\$

非常非常的重要:

$M_G= \left | G(jw) \right |\\$

$\phi_G=\angle G(jw)\\$

积分

$\int u(t)dt$

$G(s)=\frac{1}{s}$

$G(jw)=\frac{1}{jw}=-\frac{1}{jw}j^2=-\frac{1}{w}j\\$

$\left | G(jw) \right | =\frac{1}{w}\\$

$w$ 越大，频率越高，频率响应越小，因此频率响应是一个低通滤波器

例子：

$A \sin wt \to \frac{1}{s} \to \frac{1}{w}A \sin (wt-\frac{\pi}{2})\\$

$\sin 2t \to \frac{1}{s} \to \frac{1}{2} \sin (2t-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2} \cos 2t\\$

9.一阶系统的频率响应

一阶系统：

$G(s)=\frac{a}{s+a}\\$

$s=jw$

$G(jw)=\frac{a}{a+jw}=\frac{a(a-jw)}{a^2+w^2}\\ =\frac{a^2}{a^2+w^2}-\frac{aw}{a^2+w^2}j\\$

$\begin{aligned} \left | G(jw) \right | & = \sqrt{\left ( \frac{a^2}{a^2+w^2} \right )^2 +\left ( \frac{aw}{a^2+w^2} \right ) ^2}\\ & = \sqrt{ \frac{a^2(a^2+w^2)}{(a^2+w^2)^2} }\\ & = \sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{w}{a} \right ) ^2}} \end{aligned}\\$

当

$w \ll a,\left | G(jw) \right | \to 1$

当

$w = a,\left | G(jw) \right | =\sqrt{\frac{1}{2} }=0.707$

当

$w \gg a,\left | G(jw) \right | \to 0$

所以一阶系统的频率响应是一个低通滤波

总结： 无论是室内空调系统、流体系统还是含电容器的电路系统，容器就是一个缓冲器，其本质是抑制高速变化。缓冲也会带来延迟。

Matlab 仿真

积分前后的对比

滤波信号后与原函数的对比滤波信号延迟45°，振幅变为0.707左右

$\left | G(jw) \right | = \sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{w}{a} \right ) ^2}}\\$

$w$ 和

$a$ 互换，就是高通滤波器：

$\left | G(jw) \right | = \sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{a}{w} \right ) ^2}}\\$

$G(s)=\frac{s}{s+a}\\$

把纵轴改为

$-20\log \left | G(jw) \right |$ ,就得到伯德图了。

10.二阶系统对初始条件的动态响应

二阶系统无处不在,运动现象普遍是二阶系统，如牛顿第二定律

$F=ma=m \ddot x\\$

质量弹簧阻尼系统

阻尼和速度成正比，牛顿第二定律：

$\ddot x+\frac{B}{m}\dot x+\frac{k}{m}x=F\\$

$w_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$ :固有频率Natural Frequency

$\zeta =\frac{B}{2\sqrt{km}}$ :阻尼比Damping Ratio

研究零初始条件，无外力的情况下：

$F=0,x(0)=x_0,\dot {x}(0)=\dot x_0$

将条件代入：

$\ddot x+2\zeta w_n \dot x+w_n^2x=0\\$

simulink

$\ddot x=-2\zeta w_n x-w_n^2x$

$x(0)=5$

$\dot x(0)=0$

位置为5，速度为0

$x(t)=e^{\lambda t},\dot x(t)=\lambda e^{\lambda t},\ddot x(t)=\lambda^2 e^{\lambda t}$

$\lambda^2 e^{\lambda t}+2\zeta w_n \lambda e^{\lambda t}+w_n^2 e^{\lambda t}=0\\$

特征方程 Characteristic Equation:

$\lambda^2 +2\zeta w_n \lambda +w_n^2 =0\\$

$\lambda =\frac{-2\zeta w_n \pm \sqrt{4\zeta^2 w_n^2-4w_n^2}}{2}\\$

$\lambda_1 =-\zeta w_n + w_n \sqrt{\zeta^2 -1}\\ \lambda_2 =-\zeta w_n - w_n \sqrt{\zeta^2 -1}\\$

$\zeta>1$ 过阻尼Over damped

$\lambda_1 < -\zeta w_n + w_n \zeta=0\\$

$\lambda_2 < -\zeta w_n - w_n \zeta<0\\$

$\lambda_1 >\lambda_2，e^{\lambda_2 t}$ 快

$x(t)=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}\\$

$\zeta =2$

$\zeta=1$

临界阻尼Critial damped

$\lambda_1=\lambda_2 = - w_n$

$x(t)=(C_1+C_2)e^{\lambda t}\\$

比过阻尼收敛速度快一些

$0<\zeta <1$

欠阻尼Under damped

$\lambda_1 =-\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }\\ \lambda_2 =-\zeta w_n - iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }\\$

$\begin{aligned} x(t) & = e^{-\zeta w_n t}\left ( C_1 \cos w_n \sqrt{1-\zeta^2}t+C_2 \sin w_n \sqrt{1-\zeta^2}t \right )\\ & = e^{-\zeta w_n t} \sqrt{C_1+C_2}\sin (w_dt+\phi) \end{aligned}\\$

其中

$w_d=w_n \sqrt{1-\zeta^2}$ 为阻尼固有频率，

$\phi=\arctan \frac{C_1}{C_2}$

从

$x(t)$ 的表达式可以看出是震荡衰减的

$\zeta =0.2$

$\zeta =0$

$\begin{aligned} x(t) & = e^{-\zeta w_n t}\left ( C_1 \cos w_n \sqrt{1-\zeta^2}t+C_2 \sin w_n \sqrt{1-\zeta^2}t \right )\\ & = e^0\left ( C_1 \cos w_nt+C_2 \sin w_n t \right )\\ & = \sqrt{C_1+C_2}\sin (w_nt+\phi) \end{aligned}\\$

这是正弦函数，没有衰减

$-1< \zeta <0$

$\begin{aligned} x(t) & = e^{-\zeta w_n t}\left ( C_1 \cos w_n \sqrt{1-\zeta^2}t+C_2 \sin w_n \sqrt{1-\zeta^2}t \right )\\ & = e^{-\zeta w_n t} \sqrt{C_1+C_2}\sin (w_dt+\phi) \end{aligned}\\$

$-\zeta w_n t >0$

$\zeta <-1$

11.二阶系统的单位阶跃响应

弹簧质量阻尼系统

$\ddot x+2\zeta w_n \dot x+w_n^2x=F\\$

输入：

$u(t)=\frac{F}{w_n^2},w_n^2$ 为单位化输出：

$x(t)$

$\ddot x+2\zeta w_n \dot x+w_n^2x=w_n^2u(t)\\$

上一节用的是微分方程的通解和特解，这小节用拉普拉斯变换：

$s^2X(s)+2\zeta w_nsX(s)+w_n^2X(s)=w_n^2U(s)\\$

传递函数：

$H(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2}\\$

单位阶跃

$X(s)=U(s)H(s)\\ =\frac{1}{s} \cdot \frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2}\\$

极点

$s=p_1=0$

$s^2+2\zeta w_ns+w_n^2=0\\$

$\begin{aligned} s & = \frac{-2\zeta w_n \pm \sqrt{4\zeta^2 w_n^2-4w_n^2}}{2}\\ & = -\zeta w_n \pm w_n \sqrt{\zeta^2-1} \end{aligned}\\$

欠阻尼

$0<\zeta <1$

$s =-\zeta w_n \pm iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }\\$

$p_2=-\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }$

$p_3=-\zeta w_n - iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }$

$\begin{aligned} X(s) & = \frac{A}{s-p_1} +\frac{B}{s-p_2} +\frac{C}{s-p_3} \\ & = \frac{A(s-p_2)(s-p_3)+B(s-p_1)(s-p_3)+C(s-p_1)(s-p_2)}{(s-p_1)(s-p_2)} \end{aligned}\\$

$s=p_1=0$ 时：

$A(-p_2)(-p_3)=w_n^2\\$

$A(\zeta w_n - iw_n \sqrt{1-\zeta^2 })(\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 })=w_n^2\\$

$A(\zeta^2 w_n^2 + w_n^2 (1-\zeta^2 ))=w_n^2\\$

$A =1\\$

$s=p_2=-\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }$ 时:

$B(-\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }-0)(-\zeta w_n\\ + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 }+\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 })=w_n^2\\$

$B(-\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 })(2 iw_n \sqrt{1-\zeta^2 })=w_n^2\\$

$B(-2i\zeta w_n^2\sqrt{1-\zeta^2 } -2w_n^2(1-\zeta^2 ))=w_n^2\\$

$\begin{aligned} B & = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1-\zeta^2 )+ i\zeta \sqrt{1-\zeta^2 }}\\ & = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-\zeta^2 )-i\zeta \sqrt{1-\zeta^2 }}{(1-\zeta^2 )^2+\zeta^2 (1-\zeta^2 )}\\ & = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1-\zeta^2 -i\zeta \sqrt{1-\zeta^2 }}{1-\zeta^2}\\ & = -\frac{1}{2} \cdot\left [ 1 - \frac{\zeta \sqrt{1-\zeta^2 }}{1-\zeta^2}i \right ] \\ & = -\frac{1}{2} \cdot\left [ 1 - \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ] \\ \end{aligned}\\$

$s=p_3$ :

$C=B^*$

$\begin{aligned} X(s) & = \frac{1}{s-p_1} \\&- \frac{1}{2} \cdot\left [ 1 - \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ]\frac{1}{s-p_2}\\ &- \frac{1}{2} \cdot\left [ 1 + \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ] \frac{1}{s-p_3} \\\end{aligned}\\$

$\begin{aligned} x(t) & =1-\frac{1}{2} \cdot\left [ 1 - \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ]e^{p_2t}\\ & - \frac{1}{2} \cdot\left [ 1 + \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ] e^{p_3t}\\ & =1-\frac{1}{2} \cdot\left [ 1 - \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ]e^{(-\zeta w_n + iw_n \sqrt{1-\zeta^2 })t}\\ & - \frac{1}{2} \cdot\left [ 1 + \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ] e^{(-\zeta w_n - iw_n \sqrt{1-\zeta^2 })t}\\ & =1-\frac{1}{2}e^{-\zeta w_n t} \cdot \left ( \left [ 1 - \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ]e^{iw_dt}- \left [ 1 + \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \right ] e^{-iw_dt} \right ) \\ & =1-e^{-\zeta w_n t} \cdot \left (\frac{1}{2} \left ( e^{iw_dt} +e^{-iw_dt} \right )+ \frac{1}{2}\frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}}i \left ( -e^{iw_dt} +e^{-iw_dt} \right )\right ) \\ & =1-e^{-\zeta w_n t} \cdot \left (\cos w_dt+\frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin w_dt \right ) \\ & =1-e^{-\zeta w_n t} \sqrt{1+\frac{\zeta^2 }{1-\zeta^2}} \sin (w_dt +\phi )\\ & =1-e^{-\zeta w_n t} \sqrt{\frac{1 }{1-\zeta^2}} \sin (w_dt +\phi ) \end{aligned}\\$

因此是震荡衰减的。

Matlab 仿真

12.二阶系统的性能分析与比较

如何衡量系统的性能？

欠阻尼动态响应：

$x(t)=1-e^{-\zeta w_n t} \sqrt{\frac{1 }{1-\zeta^2}} \sin (w_dt +\phi )\\$

$T_d$ 延迟时间Delay time：系统达到稳态50%所需的时间

$T_r$ 上升时间Rise time：100%

$M_p$ 最大超调量 Max Overshoot

$(x_p-1)\times 100 \%\\$

$x_p=x(t_p)$

$T_{ss}$ 稳态时间或调节时间Setting time

$T_r$ :

$1=1-e^{-\zeta w_n t_r} \sqrt{\frac{1 }{1-\zeta^2}} \sin (w_dt_r +\phi )\\$

$\sin (w_dt_r +\phi )=0\\$

$w_dt_r +\phi=\pi\\$

$t_r =\frac{\pi-\phi}{w_d}\\$

$M_p$ :

$\dot x=0,\quad 1st$

$t_p=\frac{\pi-}{w_d}\\$

$M_p=e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100 \%\\$

$T_{ss}$ : 2%

$T_{ss}=\frac{4}{\zeta w_n}\\$

$T_{ss}=\frac{3}{\zeta w_n}\\$

分析手段和方法

计分规则：1分，2分，3分

$T_r$ 越小越好

$M_p$ 越小越好

$T_{ss}$ 越小越好

$\begin{array}[b]{|c|c|} \hline & T_r & M_p & T_{ss} \\ \hline system1& 3 &1&1 \\ \hline system2 & 2 &2&3 \\ \hline system3 & 1 &3&2\\ \end{array}\\$

雷达图

13.二阶系统频率响应分析

不同阻尼比的频率响应

$M_i \sin(wt+\phi_i)\to G(s) \to M_o \sin(wt+\phi_o)\\$

振幅响应：

$\frac{M_o}{M_i}=\left | G(jw) \right | \\$

辐角响应：

$\phi_o -\phi_i = \angle G(jw)\\$

用这个结论分析二阶系统

传递函数：

$G(s)=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2}\\$

$w_n$ :固有频率

$\zeta$ :阻尼比

$\begin{aligned} G(jw) & = \frac{w_n^2}{-w^2+2\zeta w_nwj+w_n^2}\\ & = \frac{1}{-\frac{w^2}{w_n^2}+2\zeta \frac{w}{w_n}j+1}\\ & = \frac{1}{-\Omega^2+2\zeta \Omega j+1}\\ & = \frac{1-\Omega^2+2\zeta \Omega j}{(1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2 }\\ & = \frac{1-\Omega^2}{(1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2 }- \frac{2\zeta \Omega }{(1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2 }j\\ \end{aligned}\\$

其中

$\Omega=\frac{w}{w_n}$ ,输入频率比上固有频率

振幅响应：

$\begin{aligned} \left | G(jw) \right | & = \sqrt{ Real\left ( G(jw) \right )^2 + I_m \left ( G(jw) \right )^2} \\ & =\sqrt{ \frac{(1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2}{\left ( (1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2 \right ) ^2}}\\ & =\sqrt{ \frac{1}{(1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2 }} \end{aligned}\\$

分析

$\Omega=0,\omega=0$

$\left | G(jw) \right | =1\\$

$\Omega \to \infty,\omega \gg \omega_n$

$\left | G(jw) \right | \to 1\\$

$\Omega =1,\omega =\omega_n$ ，输入频率等于固有频率

$\left | G(jw) \right | = \frac{1}{2\zeta}\\$

$\zeta < 0.5$

$\left | G(jw) \right | > 1\$

$\zeta > 0.5$

$\left | G(jw) \right | < 1\\$

因此在

$\Omega=1$ 一定存在极值求极值，令

$f(\Omega)=(1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2\\$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} f(\Omega)}{\mathrm{d} \Omega} & = (1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2\\ & = 2(1-\Omega^2)(-2\Omega)+8\zeta^2 \Omega\\ & = \Omega(-1+\Omega^2+2\zeta^2 )=0\\ &\Rightarrow -1+\Omega^2+2\zeta^2 = 0\\ &\Rightarrow \Omega=\sqrt{1-2\zeta^2 } \end{aligned}\\$

当

$1-2\zeta^2 >0$ 时存在极值

$\omega=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2 }\\$

这个频率称为系统的谐振振频率，

$\zeta \to 0$ ，谐振频率和固有频率非常接近

$\omega \approx \omega_n$ 。

当输入频率等于谐振频率时：

$\left | G(jw) \right | _{\omega = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2 }}=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-\zeta^2 }} \\$

$\zeta =1,\omega=\omega_n$ 时：

$\left | G(jw) \right | = \frac{1}{2} \\$

$\zeta =0.5,\omega=\omega_n，\omega = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2 }$ 时：

$\left | G(jw) \right | = 1 \\$

$\left | G(jw) \right | = 1.16 \\$

$\zeta =0,\omega=\omega_n$ 时：

$\left | G(jw) \right | \to \infty \\$

对于阻尼比比较小的系统来说，如果外力的频率在谐振频率（极值）附近，那么系统就会表现出强烈的振幅响应，不同的系统有不同的谐振频率，对外界刺激响应也就不同。

不同阻尼比的频率响应

14.伯德图

伯德图是表示频率响应的图示方法，频率响纵坐标改为

$-20 \log M$ ，和辐角响应合称伯德图。

对于传递函数：

$G(s)=\frac{s+2}{s+4}\\$

直接在命令窗口输入：

>> bode([1 2],[1 4])

dB decibel 分贝 dec 指十分之一，bel人名，分贝表示的是电话、电报的信号损失

$dB=10\log_{10} \frac{P_M}{P_R}\\$

$P_M$ : 测量功率

$P_R$ : 参考功率

加对数是为了把较大的数值降低，便于记录，如

$10\log_{10} 10^{20}=120 dB\\$

振幅和功率为平方关系

$P=f(M^2)\\$

$\begin{aligned} dB & = 10\log_{10} \frac{P_M}{P_R} \\ & = 10\log_{10} \left ( \frac{M_o}{M_i} \right )^2 \\ & = 20\log_{10} \frac{M_o}{M_i}\\ & = 20\log_{10} M \end{aligned} \\$

积分

$G(j\omega)=\frac{1}{j \omega}=-\frac{1}{ \omega}j$

$\left | G(j\omega) \right | =\frac{1}{ \omega}\\$

$20\log_{10} \frac{1}{ \omega} = -20\log_{10} \omega\\$

$\left | G(j \omega) \right | =\sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{\omega }{a} \right )^2}}\\$

$\angle G(j \omega)=-\arctan \left ( \frac{\omega }{a} \right ) \\$

低频

$\omega \ll a$

$\left | G(j \omega) \right | =1\\$

$20\log_{10} \left | G(j \omega) \right | = 0\\$

截至频率

$\omega =a$

$\left | G(j \omega) \right | =\sqrt{\frac{1}{2}}\\$

$20\log_{10} \left | G(j \omega) \right | = -20\log_{10} \sqrt{2} = -3dB\\$

$\angle G(j \omega)=-\arctan 1=-45°\\$

高频

$\omega \gg a$

$\left | G(j\omega) \right | =\frac{1}{ \omega}\\$

$20\log_{10} \frac{1}{ \omega} = -20\log_{10} \omega\\$

$\angle G(j \omega)=-\arctan 1=-90°\\$

$G(j\omega)=G_1(j\omega) \cdot G_2(j\omega)=r_1e^{j \theta_1}\cdot r_2e^{j \theta_2}=r_1r_2e^{j (\theta_1+\theta_2)}\\$

例：

$G(s)=\frac{ s+4}{s+8}=\frac{4(\frac{1}{4}s+1 )}{8(\frac{1}{8}s+1 )}=\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}s+1 ) \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}s+1} \\$

拆分

$\to$ 叠加

>> bode([0 1],[0 2])

>> bode([1/4 1],[0 1])

>> bode([0 1],[1/8 1])

>> bode([1 4],[1 8])