参考：DR_CAN

1.介绍

解决一个控制系统的问题：

• 对研究对象进行分析
• 控制器设计
• 测试

分析被控对象的物理特性及动态表现，在这个基础上建立数学模型，数学模型可以是动力学模型、热力学模型、流体力学模型和经济学模型等，然后在数学模型的基础上进行控制器的设计，为满足不同的要求就要应用不同的控制方法（传统控制控制、PID控制、非线性控制、自适应控制和优化控制等）,紧接着选择测试平台，可以是仿真平台、实验室模型样机和真实设备等。最后不断将实验结果与模型比较，对数学模型不断的验证和更新。

涉及的内容： 动态系统建模：

• 电力，KCL，KVL
• 流体
• 热力学
• 机械系统

拉普拉斯+微分方程 时域分析 频域分析

2.电路系统建模

基础元件：

流速：

电阻电压：

电量:

电感：

基尔霍夫定律 KCL：所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这个节点的电流的总和

KVL：沿着闭合回路所有元件两端的电压的代数和为零

KVL

两边求导

loop 1:

loop 2:

合并：

这是一个大圈，因此在用KVL时，不一定都用小圈，也可用大圈。

loop 1:

loop 2:

由（1）（2）式得

由（2）得

由（3）（4）式得

求

和

的关系

由（5）（6）式得

小结： KVL列方程，然后消掉自己定义的电流

loop 1:

loop 2:

loop 3:

我们的目的是找到

和

的关系,而

,因此想先消去

和

，再消去

由（1）（2）式得

由（3）（4）式得

（5）式还有

没消去，为了不引入新的变量，对（4）式求导

由（5）（6）式得

只有电流

，这样就可以引入

了

3.流体系统建模

流体系统的几个基本元素： 此处默认为不可压缩的均质流体

压强有三个概念，比如说对于容器的液体来说，它的高度是

，横截面积是

，由流体重力产生的压强称之为静压（Hydrostatic Pressure）

除了液体的压强以外还有大气压强，绝对压强（Absolute Pressure）

测量出来的压力称为表压（Gauge Pressure）

流阻Fluid Resistance 产生流阻的原因是流体在流动的过程中，通过一些管道连接等，这些都会阻碍流体的流动，因此会产生压差，压差和流量相关

:每秒钟通过横截面的流体的质量，两边的压力差越大，每秒钟流过的流体的越多。

流阻和电阻的概念非常相似

理想压源

基本法则-质量守恒定律Conseration of Mass 有了基本元素，还需要基本法则把它们联系在一起，就像电路当中有基尔霍夫定律，在力学当中有牛顿定律一样，这里面我们用到的是质量守恒定律，容器内流体质量的变化

式子两边除以

容器底部受到的压力

其动态方程为

进口处为

,出口处

，容器得横截面积为

，出口流阻为u

，求液面高度的动态方程

.

由质量守恒定律

流阻压差

4.拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是控制理论的基础，它广泛的应用于工程分析当中，它可以把时域(

)上的函数变换到复数域(

)上，从而大大简化系统分析的难度和复杂程度。

先从一个简单的电路系统开始，它的动态方程

定义系统的输入为

，输出为

，分析电流的变化。本质上就是求解微分方程的过程，假设

就是变化过程，

隐含了系统的特征，就是微分方程表现出来的内容，三者的关系其实是一个卷积的过程。因此分析这样一个系统，它涉及到了卷积和微分方程，分析和计算起来都非常麻烦，而且不是很直观。拉普拉斯变换可以帮助我们解决这些问题，通过拉普拉斯变换，微分方程变成了代数方程，卷积运算变成了乘法运算。

对时域函数

作拉普拉斯变换：

是一个平面图形，经过拉普拉斯变换后三维的复数域。当

时，从箭头的方向看过去，就是傅里叶变换，可以看到拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。

从上向下看就是复平面，做工程的往往会关注系统的极点和零点在复平面上的位置.

指数函数

的拉普拉斯变换：

拉普拉斯变换的重要性质：符合线性变换，线性变换符合叠加原理

正弦

的拉普拉斯变换：根据欧拉公式转化为复指数

两式相减：

因为拉普拉斯变换是一个线性变换：

导数的拉普拉斯变换：

复合函数求积分，用到分部积分：

为拉普拉斯变换，很多时候都把初始条件设置为

。

同理可得

卷积的拉普拉斯变换 能够将卷积运算变成乘积运算，大大简化运算和分析的复杂程度。

回到最初的电路的动态方程：

两端作拉普拉斯变换：

可以看到，经过拉普拉斯变换把微分方程变换为代数方程，它只有加减乘除，非常的简单。下图方框称之为传递函数。

5.拉普拉斯变换的收敛域（ROC）与逆变换（ILT）

指数函数的拉普拉斯变换：

如果

是发散的

加上限制条件，收敛域ROC（Region of lonvergence）,把

根据欧拉公式：

这一项仅仅带来的是振动，并不会对系统的收敛产生影响。因此收敛域为

前面我们已经知道，拉普拉斯能简化运算和分析，为什么还需要微分方程？因为微分方程能够描述动态世界的数学手段。

在经典控制理论和现代控制理论当中，研究对象一般是常系数微分方程，对应的系统就是线性时不变系统，如果是非线性系统的话，一般会在平衡点附近作线性化处理，或者直接采用非线性分析手段。

用拉普拉斯变换求解微分方程的三个步骤：

• 时域转化到复频域
  ,这里用到拉普拉斯变换
• 求解代数方程
• 把结果从复频域转回时域，用到拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换

例子

两端拉普拉斯逆变换：

称为极点Pole

其中，根据欧拉公式有

(2)-(1)

6.拉&传&微的关系

重点讲解传递函数

这部分内容非常重要，对经典控制理论、根轨迹、伯德图、信号处理等学习都有很大的帮助，因为都是从这里伸展出去的。

流体系统

令A=1

输出

输入

两端作拉普拉斯变换：

称为传递函数

假设系统的输入为常数，对常数作拉普拉斯变换

当时间

，系统收敛到

。系统的关键点在指数部分，

不变，

随着时间不断的衰减，所以系统是稳定的。

7.一阶系统的单位阶跃响应

流体系统

动态方程：

输出是一阶，输入是单位阶跃，称为一阶系统的单位阶跃响应 Unit Step Response.

一般形式：

B=-1

A=1

两边作拉普拉斯逆变换：

a越大收敛越快。

时间常数 time constant

即

的时候达到最终状态的63%。

有时候还会引入另一个概念-稳定时间(Steady State)（整定时间）Setting time

对于一阶线性系统来说，时间常数是特有的，因此可以用时间常数作系统识别。

根据上一节有：

4秒钟达到稳定时间:

系统的传递函数：

一阶系统与信号处理

一阶系统是一个低通滤波器，低通滤波器只反映了低频变化，高频变化则被过滤了。对于流体系统来说，容器内的液体就起到了抵抗高速变化的作用，是因为它有积累，所以说有积累的都是低通滤波器，它对高速变化不敏感。最典型的积累就是积分，如：

高频变化被缩放100倍，相当于被过滤掉了。所以说大家平时多做积累，有了容量以后面对高速变化的世界才可以做到处乱不惊。

另一个角度

一阶线性时不变系统1st order LTI：

单调增，

逐渐减小，

增加速度减缓，最后为零，可以得到一样的图。

其他情况，

等

Phase-Portrait

8.频率响应与滤波器

信号通过线性时不变系统后频率不变

振幅响应 Magnitude Response：

辐角响应 Phase Response：

一般形式：

两边作拉普拉斯变换：

其中，

:极点Poles

拉普拉斯逆变换：

对于稳定系统，

的实部小于0，有

ss:Steady State 稳态，由上式可以看出频率响应就是稳态响应。求

:

复数表达：

欧拉公式：

非常非常的重要:

积分

越大，频率越高，频率响应越小，因此频率响应是一个低通滤波器

例子：

9.一阶系统的频率响应

一阶系统：

当

当

当

所以一阶系统的频率响应是一个低通滤波

总结： 无论是室内空调系统、流体系统还是含电容器的电路系统，容器就是一个缓冲器，其本质是抑制高速变化。缓冲也会带来延迟。

Matlab 仿真

积分前后的对比

滤波信号后与原函数的对比 滤波信号延迟45°，振幅变为0.707左右

和

互换，就是高通滤波器：

把纵轴改为

,就得到伯德图了。

10.二阶系统对初始条件的动态响应

二阶系统无处不在,运动现象普遍是二阶系统，如牛顿第二定律

质量弹簧阻尼系统

阻尼和速度成正比，牛顿第二定律：

:固有频率Natural Frequency

:阻尼比Damping Ratio

研究零初始条件，无外力的情况下：

将条件代入：

simulink

位置为5，速度为0

特征方程 Characteristic Equation:

• 过阻尼Over damped

快

• 临界阻尼Critial damped

比过阻尼收敛速度快一些

• 欠阻尼Under damped

其中

为阻尼固有频率，

从

的表达式可以看出是震荡衰减的

这是正弦函数，没有衰减

11.二阶系统的单位阶跃响应

弹簧质量阻尼系统

输入：

为单位化 输出：

上一节用的是微分方程的通解和特解，这小节用拉普拉斯变换：

传递函数：

• 单位阶跃

极点

欠阻尼

时：

时:

:

因此是震荡衰减的。

Matlab 仿真

12.二阶系统的性能分析与比较

如何衡量系统的性能？

欠阻尼动态响应：

延迟时间Delay time：系统达到稳态50%所需的时间

上升时间Rise time：100%

最大超调量 Max Overshoot

稳态时间或调节时间Setting time

:

:

: 2%

5%

分析手段和方法

• 计分规则：1分，2分，3分

越小越好

越小越好

越小越好

雷达图

13.二阶系统频率响应分析

不同阻尼比的频率响应

振幅响应：

辐角响应：

用这个结论分析二阶系统

传递函数：

:固有频率

:阻尼比

其中

,输入频率比上固有频率

振幅响应：

分析

• ，输入频率等于固有频率

因此在

一定存在极值 求极值，令

当

时存在极值

这个频率称为系统的谐振振频率，

，谐振频率和固有频率非常接近

。

当输入频率等于谐振频率时：

• 时：

• 时：

• 时：

对于阻尼比比较小的系统来说，如果外力的频率在谐振频率（极值）附近，那么系统就会表现出强烈的振幅响应，不同的系统有不同的谐振频率，对外界刺激响应也就不同。

不同阻尼比的频率响应

14.伯德图

伯德图是表示频率响应的图示方法，频率响纵坐标改为

，和辐角响应合称伯德图。

对于传递函数：

直接在命令窗口输入：

>> bode([1 2],[1 4])

dB decibel 分贝 dec 指十分之一，bel人名，分贝表示的是电话、电报的信号损失

: 测量功率

: 参考功率

加对数是为了把较大的数值降低，便于记录，如

振幅和功率为平方关系

积分

低频

截至频率

高频

例：

拆分

叠加

>> bode([0 1],[0 2])

>> bode([1/4 1],[0 1])

>> bode([0 1],[1/8 1])

>> bode([1 4],[1 8])