§6 解的存在唯一性

C1 存在唯一性定理

dydx=f(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)dxdy=f(x,y)，fff是矩形域R:∣x−x0∣≤a,∣y−y0∣≤bR:|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le bR:∣x−x0∣≤a,∣y−y0∣≤b上连续函数式6.6.1

1）Lipschitz条件：若∣f(x,y1)−f(x,y2)∣<L∣y1−y2∣|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<L|y_1-y_2|∣f(x,y1)−f(x,y2)∣<L∣y1−y2∣，则称fff关于yyy满足Lipschitz条件，LLL称Lipschitz常数

存在连续偏导数∂f∂y⟹\frac{\partial f}{\partial y}\implies∂y∂f⟹fff关于yyy满足Lipschitz条件

2）存在唯一性定理：若f(x,y)f(x,y)f(x,y)在矩形域RRR上连续且关于yyy满足Lipschitz条件，则式6.1.1才能在唯一解，定义于∣x−x0∣≤min⁡(a,bmax⁡f)|x-x_0|\le \min(a,\frac{b}{\max f})∣x−x0∣≤min(a,maxfb)上

在证明过程中，积分曲线被限制在如下区域中
若f(x,y)=P(x)y+Q(y)f(x,y) = P(x)y + Q(y)f(x,y)=P(x)y+Q(y)，则满足上述条件，且此时积分曲线不再被限制
推广：若点(x0,y0,y0′)(x_0,y_0,y_0')(x0,y0,y0′)的某一邻域中：
- F(x,y,y′)F(x,y,y')F(x,y,y′)对所有变元(x,y,y′)(x,y,y')(x,y,y′)连续，且存在连续偏导数
- F(x0,y0,y0′)=0F(x_0,y_0,y_0')=0F(x0,y0,y0′)=0
- ∂F∂y′≠0\frac{\partial F}{\partial y'}\neq 0∂y′∂F=0
则隐式微分方程F(x,y,y′)=0F(x,y,y')=0F(x,y,y′)=0有唯一解y=y(x),∣x−x0∣<ϵy=y(x),|x-x_0|<\epsilony=y(x),∣x−x0∣<ϵ，满足初值条件y(x0)=y0,y′(x0)=y0′y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'_0y(x0)=y0,y′(x0)=y0′

3）逐步逼近法：求解式6.1.1，令ϕn+1(x)=y0+∫x0xf(x,ϕn(x))dx\phi_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(x,\phi_n(x))\mathrm{d}xϕn+1(x)=y0+∫x0xf(x,ϕn(x))dx，则lim⁡n→∞ϕn(x)=ϕ(x)\lim\limits_{n\to\infin}\phi_n(x)=\phi(x)n→∞limϕn(x)=ϕ(x)为解

证明：分五个命题证明

命题1：y=yo+∫x0xf(x,y)dxy=y_o+\int_{x_0}^xf(x,y)\mathrm{d}xy=yo+∫x0xf(x,y)dx与dydx=f(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)dxdy=f(x,y)同解

命题2：ϕn(x)\phi_n(x)ϕn(x)在[x0,x0+h][x_0,x_0+h][x0,x0+h]上有定义，连续且∣ϕn(x)−b∣≤b|\phi_n(x)-b|\le b∣ϕn(x)−b∣≤b

命题3：{ϕn(x)}\{\phi_n(x)\}{ϕn(x)}在[x0,x0+h][x_0,x_0+h][x0,x0+h]上一致收敛，lim⁡n→∞ϕn(x)=ϕ(x)\lim\limits_{n\to\infin}\phi_n(x) = \phi(x)n→∞limϕn(x)=ϕ(x)

命题4：ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)是积分方程y=yo+∫x0xf(x,y)dxy=y_o+\int_{x_0}^xf(x,y)\mathrm{d}xy=yo+∫x0xf(x,y)dx的连续解

命题5：解唯一

误差公式：ϕn(x)−ϕ(x)≤MLn(n+1)!hn+1\phi_n(x)-\phi(x)\le \frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}ϕn(x)−ϕ(x)≤(n+1)!MLnhn+1

C2 延拓

1）局部Lipschitz条件：对于区域GGG内每一点都存在一个含于GGG的满足Lipschitz条件的矩形域

2）解的延拓定理：若式6.1.1中的fff在GGG上满足局部Lipschitz条件，则解的存在性可以一致延拓到点(x,ϕ(x))(x,\phi(x))(x,ϕ(x))接近GGG的边界为止。这里的边界也可以是开边界，或者无穷

3）解对初值的连续性定理：若式6.1.1中fff满足局部Lipschitz条件，则y=ϕ(x,x0,y0)y=\phi(x,x_0,y_0)y=ϕ(x,x0,y0)关于初值也是连续的

4）解对初值的可微性定理：若式6.1.1中∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y}∂y∂f在GGG上连续则y=ϕ(x,x0,y0)y=\phi(x,x_0,y_0)y=ϕ(x,x0,y0)关于x0,y0x_0,y_0x0,y0连续可微，且
∂ϕ∂x0=−f(x0,y0)e∫x0x∂f(x,ϕ)∂ydx∂ϕ∂y0=e∫x0x∂f(x,ϕ)∂ydx\frac{\partial \phi}{\partial x_0}=-f(x_0,y_0)e^{\int_{x_0}^x\frac{\partial f(x,\phi)}{\partial y}\mathrm{dx}}\\\frac{\partial \phi}{\partial y_0}=e^{\int_{x_0}^x\frac{\partial f(x,\phi)}{\partial y}\mathrm{dx}} ∂x0∂ϕ=−f(x0,y0)e∫x0x∂y∂f(x,ϕ)dx∂y0∂ϕ=e∫x0x∂y∂f(x,ϕ)dx

C3 奇解

1）包络：特殊积分曲线，不属于曲线族，但线上每一点都与曲线族中一条积分曲线相切，对应的解称奇解

单参数曲线族Φ(x,y,c)=0\Phi(x,y,c)=0Φ(x,y,c)=0的包络为{Φ(x,y,c)=0Φc′(x,y,c)=0\begin{cases} \Phi(x,y,c)=0\\\Phi'_c(x,y,c)=0\end{cases}{Φ(x,y,c)=0Φc′(x,y,c)=0消去ccc的某一解，称c-判别曲线
方程F(x,y,y′)=0F(x,y,y')=0F(x,y,y′)=0的奇解为{F(x,y,p)=0Fp′(x,y,p)=0\begin{cases}F(x,y,p)=0\\F'_p(x,y,p)=0\end{cases}{F(x,y,p)=0Fp′(x,y,p)=0消去ppp的某一解，称p-判别曲线
一般的曲线族不一定有包络，如同心圆族，平行线族

Clairaut微分方程：y=xp+f(p),p=dydxy=xp+f(p),p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}y=xp+f(p),p=dxdy，通解为直线族y=cx+f(c)y=cx+f(c)y=cx+f(c)，包络为{x+f′(p)=0y=xp+f(p)\begin{cases}x+f'(p)=0\\y=xp+f(p)\end{cases}{x+f′(p)=0y=xp+f(p)消去p

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C1 存在唯一性定理

C2 延拓

C3 奇解

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