复化科特斯公式matlab_牛顿科特斯公式要点分析.ppt
证明：1)确定代数精度为3. 2)令 3) N=2时的牛-柯公式 由前面结论知：二阶的牛—柯公式至少具有二次代数精度。进一步用 进行检验，计算得 重要结论 例3 用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解: 辛普森公式 由于 由辛普森公式余项 知其误差为 解:柯特斯公式 知其误差为 该定积分的准确值 ,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式却是精确的，这是由于辛普森公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。 二、复化求积公式 由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n≥8时的牛顿—柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。 复化梯形公式： 情形1 求和可得 复化梯形公式 复化梯形 公式 复化梯形公式 由梯形公式的余项公式，有 复化梯形余项公式 复化梯形公式收敛性和稳定性 公式中积分系数大于零复化梯形公式是数值稳定的。 复化辛普森求积公式 情形2 复化辛普森公式 复化辛普森公式 复化辛普森公式 复化辛普森公式的余项公式 注意 复化辛普森公式收敛性和稳定性 例4 解 NIntegrate[Sin[1/x],{x,1,1.5}] 答案： 0.360811 估计误差: 注意 若使用梯形公式 解 例5 把积分区间[1，1.5]10等分，使用复化辛普森公式 估计误差 这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多 用误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，还可由给定的精度估计应取多大的步长。 例6 若用复化求积公式计算积分 的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？ 解 所以若用复化梯形公式，n应等于41才达到精度 若用复化辛普森公式，则 主要内容： 1:牛顿-柯特斯公式 2:复化梯形公式 3:复化辛普森求积公式 本 节 小 结 §4.2 牛顿-科特斯公式 一、 数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性 复习回顾 利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分! 1)基本思想： 2)数值积分的一般形式： 3)插值型求积公式： 此求积公式的截断误差为： 4)代数精度： 只要当 分别为 时，求积公式精确成立，而当 不能成立. 证明…… 5) 求积公式的余项： 1) 基于代数精度证明 2) 基于插值余项证明 6) 积分公式的收敛性和稳定性 定理：若求积公式中系数 ，则此求积公式是稳定的。 一、 牛顿-科特斯公式 二、 复化梯形公式 三、 复化辛普森求积公式 主要内容 一、 牛顿－柯特斯求积公式 称为牛顿-柯特斯公式. 求 积 公 式 梯形公式 求 积 公 式 误 差 估 计 求 积 公 式 误 差 估 计 辛普森公式的几何意义： 几 何 意 义 Cotes系数表可用程序得到 Cotes系数表 解：由梯形公式 截断误差为： 由辛普森公式 截断误差为： 例1 分别用梯形公式与辛普森公式计算积分 的近似值并估计误差。 例 题 1 例2 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯 公式计算定积分 的近似值 (计算结果取5位有效数字) (1) 用梯形公式计算 (2) 用辛普森公式 (3) 用柯特斯公式计算，系数为 积分的准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 定理:当阶n为偶数时，牛顿-科特斯求积公式至少具有n+1次代数精确度。 重要结论 N=1时的牛-柯公式 余项为: 重要结论
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