牛顿迭代公式计算平方根立方根

2024-05-09 23:30:02

牛顿迭代公式计算平方根立方根

如何用计算机来求一个数的平方根与立方根呢。可以采用牛顿迭代公式。相类似的还有GCD最大公约数算法，也即欧几里德算法，利用余数辗转相除。

牛顿迭代公式思路

用一个曲线的切线的根去表示一个曲线的根（根指一元方程的解，多元方程的解叫一组解，不叫根）。然后再从曲线上前一根处做切线，再求新切线的根，直到误差达到自己预期的精度范围内。

牛顿迭代公式

曲线为y=f(x)y=f(x)，在x0x_0处的切线方程为y=f(x0)+f′(x0)×(x−x0)y=f(x_0)+f'(x_0)\times (x-x_0)。要求f(x)=0的根，我们用在x0x_0处f(x)的切线与x轴的交点做为曲线根的拟合。即用f(x0)+f′(x0)×(x−x0)=0f(x_0)+f'(x_0)\times (x-x_0)=0的根做为曲线的根。

x=x0−f(x0)f′(x0)

x=x_0-\frac {f(x_0)}{f'(x_0)}
此即为牛顿迭代公式。

平方根迭代公式

假设输入为N。我们要求N−−√=x\sqrt N=x。可得x2−N=0x^2-N=0。此即为f(x)。即f(x)=x2−Nf(x)=x^2-N。其中N为输入的要求其平方根的数。f′(x)=2xf'(x)=2 x。代入牛顿迭代公式。可得：
x=x0−x20−N2x0=x02+N2x0x=x_0-\frac {x_0^2-N}{2x_0}=\frac {x_0}{2}+\frac {N}{2 x_0}。此方程即可视为一个状态转移方程了。

xn=0.5×xn−1+0.5×Nxn−1

x_n=0.5\times x_{n-1}+\frac{0.5\times N}{x_{n-1}}
代码如下：

double Leetcode::sqrt(double d, double loss)
{double x=1.0;do{x=0.5*x+0.5*d/x;}while(fabs(x*x-d)>loss);return x;
}

立方根迭代公式

要求N−−√3=x\sqrt[3]N=x，即x3−N=0x^3-N=0，即f(x)=x3−Nf(x)=x^3-N。可知f′(x)=3x2f'(x)=3x^2。
代入牛顿迭代公式。

xn=xn−1−f(xn−1)f′(xn−1)=xn−1−x3n−1−N3x2n−1=2xn−13+N3x2n−1

x_n=x_{n-1}-\frac {f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\frac {x_{n-1}^3-N}{3x_{n-1}^2}=\frac {2x_{n-1}}{3}+\frac {N}{3x_{n-1}^2}
代码如下：

double Leetcode::cubeRoot(double d, double loss)
{double x=1.0;do{x=2*x/3+d/(3*x*x);}while(fabs(x*x*x-d)>loss);return x;
}

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