大数定律和中心极限定理

大数定律

大数定律的本质其实就是证明了在n很大的时候，样本均值依概率收敛于总体期望。

（1）切比雪夫大数定律

条件：A）相互独立的随机变量序列，B）方差均值存在，且方差DXi 都是由上界的，即都小于等于某个数。

那么样本均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 就会依概率收敛于 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}EX_{i}$ 每个随机变量期望的均值

（2）辛钦大数定律

条件：A）独立同分布的随机变量序列，B）期望存在，为u。

辛钦大数定律是在独立同分布情况下发生的，且只需要期望存在，这是与切比雪夫大数定律的区别。正式因为有了独立同分布，所以每一个随机变量的期望都是u，且所有期望的均值也是u

那么有样本均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 依概率收敛于 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}EX_{i}$ = u

（3）伯努利大数定律

伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况，在确定了{Xn}全部都是独立同0-1分布情况下所有的情况。

由于二项分布中的随机变量的取值只有：0,1两种情况，所以样本均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 就变成了在n此伯努利试验中，试验成功的次数（Un表示次数），即 $\frac{Un}{n}$ ，而此时0-1分布的总体期望是p，所以就有：

样本均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ = $\frac{Un}{n}$ 依概率收敛于 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}EX_{i}$ = p

中心极限定理

中心极限定理的本质是样本均值以总体期望为中心变动，当n很大的时候，样本均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$

服从的是：以总体期望为期望的，以总体方差的 $\frac{1}{n}$ 为方差的正太分布。

即样本均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 服从正太分布N（ $u$ , $\frac{\delta ^{2}}{n}$ ）

即 $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 服从正太分布N（ $nu$ , $n\delta ^{2}$ ）

（1）列维-林德伯格定理

条件：1）随机变量序列独立同分布，2）总体均值和总体方差都存在，且分别为 $u$ 和 $\delta ^{2}$

随后可以对样本均值和n倍的样本均值进行单位化，就有了下列的公式：

$\lim_{n \to \infty }\left \{ \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-u}{\frac{\delta}{\sqrt{n}} } \leq x\right \} = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt = \Theta (x)$

即 $\lim_{n \to \infty }\left \{ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-nu}{\sqrt{n}\delta } \leq x\right \} = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt = \Theta (x)$

（2）拉普拉斯定理

拉普拉斯定理是林德伯格定理的一种特殊情况，其中的随机变量序列{Xn}满足独立同0-1分布。

上述是 $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 的情况。

样本均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 服从正态分布N（ $p$ , $\frac{p\left ( 1-p \right )}{n}$ ）

即 $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 服从正态分布N（ $np$ , $np(1-p)$ ）

大数定律和中心极限定律的关系

大数定律告诉你样本均值趋向的方向是没有错的，即依概率收敛于每个随机变量期望的均值。但趋向的过程是怎么样的呢？中心极限定律就告诉你，样本均值在趋向的过程中，是服从某个正态分布的。

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