中心极限定理_统计学基础知识3——正态分布与大数定律、中心极限定理

正态分布，也称常态分布，又名高斯分布。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

若

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

正态分布的概率密度函数图形如下图：

Q1：

正态分布的基本特性是什么？

从上图所示的整体分布的概率密度图形可以看出，正态分布是一种非偏态的分布，概率密度函数图形以期望为中心左右对称，期望与中位数大小相等。另外，在正态分布中，概率密度值出现“中间高，两边低”的情绪，使得大部分样本都会落在期望值周围，也因此引出了3

相关问题。

Q2：3

方法与正态分布之间存在怎么样的关联？

A:
68.27%，95.45%，99.73%的概率会使样本分别落在

[

，

]，[

-2

],[

-3

]区间。

就是基于此而产生的，在有些面试中也会对这个概念进行考查。

样本落在3

之外的概率只有0.27%，这部分误差不再是随机误差，而是粗大误差，应该将这部分数据予以剔除。

Q3:简述大数定律的核心思想，及常见的大数定律有哪些及他们的区别。

A：

大数定律的核心在于将随机变量X所对应的随机试验重复多次，随着试验次数的增加，X的均值

会愈发趋近于E(X)。(不同的大数定律会从不同的角度来阐述。)

Q4;简述中心极限定理。

可以按照下面的公式，用通俗的语言对中心极限定理进行阐述。

设X1,X2,...,Xn,...是一组独立同分布的随机变量，E（Xi）=

，D（Xi）=

（i=1,2,3...）

当n足够大时，均值

= （

Xi）/n的分布接近于正态分布N（

/n），将

进行标准化处理，就可以得到

)/(

)接近于N（0,1）的标准正态分布。

也可以按照下面的方式来阐述：

假设有来自同一个随机试验的一组样本x1，x2，x3，...，随机变量X表示样本的均值，

.随着样本数量的增加，X的分布愈发趋近于正态分布。

中心极限定理表明：随着试验次数的增加，一组独立同分布的变量的均值可以近似看作服从正态分布，且方差也会随着试验次数的增加而减小。

这就使得对于一组量足够大的样本，无论其原本服从什么分布，最终都能转化成正态分布。

在互联网公司中，针对某一随机试验通常会产生大量的样本，以此为基础，再结合假设检验，就构成了AB测试所需的理论依据。

Q5:大数定律和中心极限定理的区别？

中心极限定理是说无论抽样分布如何均值服从正态分布

而大数定律根本和正态分布无关，是说样本大了抽样分布近似总体分布

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