坐标系转换

之前只是停留在会用的阶段，一直没去读懂计算的原理，今天通读了大佬的文章，写的言简意赅，感谢感谢~~特此记录一下，仅用作个人笔记

贴链接，十分感谢~
https://blog.csdn.net/weixin_44278406/article/details/112986651
https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/104184551

四个不同类型的坐标系

将三维物体转换成照片上的二维坐标，由四个坐标系进行转换。

1. 世界坐标系

世界坐标系是一个特殊坐标系，它建立了描述其他坐标系需要的参考框架。能够用世界坐标系描述其他坐标系的位置，而不能用更大的、外部的坐标系描述世界坐标系。从非技术意义上讲，世界坐标系建立的是我们所关心的最大坐标系，而不必真的是整个世界。
用(Xw，Yw，Zw)(X_w，Y_w，Z_w)(Xw，Yw，Zw)来表示，世界坐标系可通过旋转和平移得到相机坐标系。

2. 相机坐标系

以相机透镜的几何中心（光心）为原点，坐标系满足右手法则，用(Xc，Yc，Zc)(X_c，Y_c，Z_c)(Xc，Yc，Zc)来表示；相机光轴为坐标系的Z轴，X轴水平，Y轴竖直。

3. 图像物理坐标系

以CCD图像的中心为原点，坐标由 (x,y)(x, y)(x,y) 表示，图像坐标系的单位，一般是毫米，坐标原点为相机光轴与成像平面的交点（一般情况下，这个交点是接近于图像的正中心）

CCD，英文全称：Charge coupled Device，中文全称：电荷耦合元件，可以称为CCD图像传感器。CCD是一种半导体器件，能够把光学影像转化为数字信号。 CCD上植入的微小光敏物质称作像素（Pixel）。一块CCD上包含的像素数越多，其提供的画面分辨率也就越高。

4. 图像像素坐标系

其实，当我们提及一个图像时，通常指的是图像的像素坐标系。像素坐标系的原点在左上角，并且单位为像素。

将图像坐标系的原点 O1O_1O1 ，转化到以 O0O_0O0 为原点的坐标系中。使用的原因：

如果使用图像坐标系，单位mm，其实不太好衡量具体的图像，如果按照统一的像素标准，比较容易衡量图像的质量
如果使用图像坐标系，然后就有四个象限，这样会有正负数的问题，但是转换成像素坐标系后，都为整数。在后续的操作和运算中，都简化很多。

坐标转换

针孔模型（The basic pinhole model）。这种模型在数学上是三维空间到二维平面（image plane or focal plane）的中心投影，由一个 3×43 × 43×4 投影矩阵P=K[R∣t]P = K [ R | t ]P=K[R∣t]来描述，KKK 为相机内参（internal camera parameters），[R∣t][R|t][R∣t]为外参（external parameters）。

世界坐标 → 相机坐标（刚性变换）

[XcYcZc1]=[Rt01∗31][XwYwZw1]\begin{bmatrix}X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} ⎣⎡XcYcZc1⎦⎤=⎣⎡R01∗3t1⎦⎤⎣⎡XwYwZw1⎦⎤
Xc，Yc，ZcX_c，Y_c，Z_cXc，Yc，Zc代表相机坐标；Xw，Yw，ZwX_w，Y_w，Z_wXw，Yw，Zw代表世界坐标；R代表正交单位旋转矩阵，t代表三维平移矢量。
根据旋转角度可以分别得三个方向上的旋转矩阵，而旋转矩阵即为他们的乘积：R=Rx∗Ry∗RzR = R_x * R_y * R_zR=Rx∗Ry∗Rz
顺便记录一下三个旋转矩阵的公式，经常忘记。

绕XXX旋转θ\thetaθ度

[XcYcZc]=[1000cosθsinθ0−sinθcosθ][XwYwZw]=Rx[XwYwZw]\begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\theta&sin\theta\\0&-sin\theta&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_x\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} ⎣⎡XcYcZc⎦⎤=⎣⎡1000cosθ−sinθ0sinθcosθ⎦⎤⎣⎡XwYwZw⎦⎤=Rx⎣⎡XwYwZw⎦⎤

绕YYY轴旋转θ\thetaθ度

[XcYcZc]=[cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ][XwYwZw]=Ry[XwYwZw]\begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos\theta&0&-sin\theta\\0&1&0\\sin\theta&0&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_y\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} ⎣⎡XcYcZc⎦⎤=⎣⎡cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ⎦⎤⎣⎡XwYwZw⎦⎤=Ry⎣⎡XwYwZw⎦⎤

绕ZZZ轴旋转θ\thetaθ度

[XcYcZc]=[cosθsinθ0−sinθcosθ0001][XwYwZw]=Rz[XwYwZw]\begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta&0\\-sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_z\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} ⎣⎡XcYcZc⎦⎤=⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡XwYwZw⎦⎤=Rz⎣⎡XwYwZw⎦⎤

相机坐标 → 图像坐标系（中心投影）

相机坐标系到图像坐标系是透视关系，利用相似三角形进行计算。

写成齐次坐标形式的矩阵相乘为
Zc[xy1]=[f0000f000010][XcYcZc1]=[K∣0][XcYcZc1]Zc \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}K|0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\\1\end{bmatrix} Zc⎣⎡xy1⎦⎤=⎣⎡f000f0001000⎦⎤⎣⎡XcYcZc1⎦⎤=[K∣0]⎣⎡XcYcZc1⎦⎤
其中f代表焦距，即相机坐标系和图像坐标系在Z轴上的差。此时投影点p的单位还是mm，并不是pixel，不方便进行后续运算。

图像坐标系 → 像素坐标系（离散化）

像素坐标系的原点在左上角，并且单位为像素。像素坐标系和图像坐标系都在成像平面上，只是各自的原点和度量单位不一样。图像坐标系的原点为相机光轴与成像平面的交点，通常情况下是成像平面的中点或者叫principal point。图像坐标系的单位是mm，属于物理单位，而像素坐标系的单位是pixel，我们平常描述一个像素点都是几行几列。所以这二者之间的转换如下：其中dx和dy表示每一列和每一行分别代表多少mm，即1pixel=dx mm

Zc[uv1]=[1dx0u001dyv0001][f0000f000010][Rt01∗31][XwYwZw1]Zc \begin{bmatrix}u\\v\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{d_x}&0&u_0\\0&\frac{1}{d_y}&v_0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} Zc⎣⎡uv1⎦⎤=⎣⎡dx1000dy10u0v01⎦⎤⎣⎡f000f0001000⎦⎤⎣⎡R01∗3t1⎦⎤⎣⎡XwYwZw1⎦⎤
其中[1dx0u001dyv0001][f0000f000010]\begin{bmatrix}\frac{1}{d_x}&0&u_0\\0&\frac{1}{d_y}&v_0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix}⎣⎡dx1000dy10u0v01⎦⎤⎣⎡f000f0001000⎦⎤为相机内参矩阵，[Rt01∗31]\begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix}⎣⎡R01∗3t1⎦⎤为外参矩阵。相机标定就是为了求解这两个矩阵的参数。

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