最优化原理与算法

实验内容：

用matlab编制一维搜索程序（黄金分割法(0.618法)和Fibonacci法为例子）来求解一维问题
(1)min⁡αϕ(α)=eα−5α(1)\quad\min_{\alpha}\quad\phi(\alpha)=e^\alpha-5\alpha (1)αminϕ(α)=eα−5α

(2)min⁡αϕ(α)=α3−2α2+1(2)\quad\min_{\alpha}\quad\phi(\alpha)=\alpha^3-2\alpha^2+1 (2)αminϕ(α)=α3−2α2+1

其中ϵ=0.001其中\epsilon=0.001 其中ϵ=0.001

此问题中，需要先找出两个一维问题的初始区间，下面用进退法求出两函数的初始区间。

进退法求搜索区间

1.算法思想：

(1)给定初始点,初始步长>0,置，计算，并置.

(2)令，计算，置.

(3)若，则转步骤(4)；否则转步骤(5).

(4)令置,转步骤(2).

(5)若，则转步骤(6)；否则，转步骤(7).

(6)置转步骤(2).

(7)令，停止计算.

这样得到含有极小点的区间.

2.代码实现：

该进退法现以.m文件实现

search_field.m

%% 求搜索区间
%在这我们将步长α记为a,将点μ,μ1,μ2,μ3记为m,m1,m2,m3
%将函数值φ,φ1,φ2,φ3记为f,f1,f2,f3,将[b1,b2]记为最终的搜索空间
clear all;
clc;
a = 1;  m3 = 0;  f3 = ft1(m3);  k = 0; %其中ft1为第一个函数的.m文件
m = m3+a;  f = ft1(m);  k = k+1;
while f<f3m2 = m3;  f2 = f3;  m3 = m;  f3 = f;  a = 2*a;  k = k+1;m = m3+a;  f = ft1(m);   k = k+1;
endwhile k==1m2 = m;  f2 = f;  a=-1*a;m = m3+a;  f = ft1(m);     k = k+1;while m<m3m2 = m3;  f2 = f3;  m3 = m;  f3 = f;a = 2*a;  k = k+1;end
end
m1 = m2;  f1 = f2;  m2 = m3;  f2 = f3;  m3 = m;
f3 = f;
b1 = min(m1,m3)
b2 = max(m1,m3)

ft1.m

function y = ft1(x)y = exp(x)-5*x;

求第二问的搜索区间时，只需把search_field.m中的ft1改为ft2即可

ft2.m

function y = ft2(x)y = x^3-2*x^2+1;

search_field.m运行后得出ft1的结果为b1=0, b2=3

search_field.m运行后得出ft2的结果为b1=0, b2=3

即两函数的初始搜索区间都为[0,3].

求出初始搜索区间后，紧接着用黄金分割法和Fibonacci法计算出最优解.

一、黄金分割法

1.算法思想：

(1) 置初始搜索区间[a,b]，并置精度要求 ε ，并计算左右试探点
αl=a+(1−τ)(b−a)\alpha_l=a+(1-\tau)(b-a) αl=a+(1−τ)(b−a)

αr=a+τ(b−a)\alpha_r=a+\tau(b-a) αr=a+τ(b−a)

其中
τ=5−12,\tau=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, τ=25−1,
及相应的函数值
ψl=ψ(αl),ψr=ψ(αr)\psi_l=\psi(\alpha_l),\quad\psi_r=\psi(\alpha_r) ψl=ψ(αl),ψr=ψ(αr)
(2)如果
ψl<ψr\psi_l<\psi_r ψl<ψr
则置
b=αr,αr=αl,ψr=ψlb=\alpha_r,\quad\alpha_r=\alpha_l,\quad\psi_r=\psi_l b=αr,αr=αl,ψr=ψl
并计算
αl=a+(1−τ)(b−a),ψr=ψl\alpha_l=a+(1-\tau)(b-a),\quad\psi_r=\psi_l αl=a+(1−τ)(b−a),ψr=ψl
否则，置
a=αl,αl=αr,ψl=ψra=\alpha_l,\quad\alpha_l=\alpha_r,\quad\psi_l=\psi_r a=αl,αl=αr,ψl=ψr
并计算
αr=a+τ(b−a),ψr=ψ(αr)\alpha_r=a+\tau(b-a),\quad\psi_r=\psi(\alpha_r) αr=a+τ(b−a),ψr=ψ(αr)
(3)如果
∣b−a∣≤ϵ|b-a|\leq\epsilon ∣b−a∣≤ϵ
停止计算，极小点含于[a,b]；否则转步骤(2).

(4)计算极小点
x=a+b2,ψ(x)x=\frac{a+b}{2} ,\quad\psi(x) x=2a+b,ψ(x)

2.代码实现：

黄金分割法不以.m文件实现

一维问题(1)的求解：

clc;
clear;
a=0;b=3;  %初始区间
f = @(x)exp(x)-5*x;       %创建题目要求的匿名函数，方便使用
eps = 0.001;   %区间精度
r = 0.618;     %黄金分割数
while((b-a)>=eps)x1 = a+(1-r)*(b-a);x2 = a+r*(b-a);     %黄金分割主要步骤if f(x1)<f(x2)      %两种情形的判断b = x2;x2 = x1;x1 = a+(1-r)*(b-a);elsea = x1;x1 = x2;x2 = a+r*(b-a);end
end
x = (a+b)/2;  %得到满足条件的最优解
disp(['最优解： x = ',num2str(x)]);
disp(['此时： f(x) = ',num2str(f(x))]);  %使用disp函数和num2str()进行输出

一维问题(2)的求解：

clc;
clear;
a=0;b=3;  %初始区间
f = @(x)x^3-2*x^2+1; %创建题目要求的匿名函数，方便使用
eps = 0.001;   %区间精度
r = 0.618;     %黄金分割数
while((b-a)>=eps)x1 = a+(1-r)*(b-a);x2 = a+r*(b-a);     %黄金分割主要步骤if f(x1)<f(x2)      %两种情形的判断b = x2;x2 = x1;x1 = a+(1-r)*(b-a);elsea = x1;x1 = x2;x2 = a+r*(b-a);end
end
x = (a+b)/2;  %得到满足条件的最优解
disp(['最优解： x = ',num2str(x)]);
disp(['此时： f(x) = ',num2str(f(x))]);  %使用disp函数和num2str()进行输出

3.运行结果：

运行的结果为：

二、Fibonacci法

1.算法思想：

(1)给定初始区间[a,b]和最终区间长度.求计算函数值的次数，使置辨别常数,计算试探点

及相应的函数值

(2)置.

(3)如果,则置

若,则计算

否则计算

(4)如果,置

若，则计算

否则计算

(5)若，停止计算

极小点含于[a,b]内，否则转步骤(2).

(6)计算极小点
x=a+b2,ψ(x)x=\frac{a+b}{2} ,\quad\psi(x) x=2a+b,ψ(x)

2.代码实现：

Fibonacci法现以.m文件的形式实现

定义fibonacci.m文件

function [x_opt,f_opt,stepNum]=Fibonacci(f,a,b,ferror)
Fn=(b-a)/ferror;
x = [];
x(1) = 1;
x(2) = 1;
i = 1;
while x(i)<Fnx(i+2) = x(i)+x(i+1);i = i+1;
endN = i;
al = x(N-2)/x(N)*(b-a)+a;
ar = x(N-1)/x(N)*(b-a)+a;for i = 1:N-3f1 = feval(f,al);f2 = feval(f,ar);
if f1>f2a = al;f1 = f2;al = ar;ar = a+x(N-i-1)/x(N-i)*(b-a);
elseb = ar;ar = al;f2 = f1;al = a+x(N-i-2)/x(N-i)*(b-a);
end
stepNum = i;
end
x_opt = (a+b)/2;
f_opt = feval(f,x_opt);
stepNum = stepNum + 1;

定义f1.m文件

clear all;clc;
f=@(x)exp(x)-5*x;
a=0;
b=3;
ferror=0.001;
[x_opt,f_opt,stepNum]=Fibonacci(f,a,b,ferror);x_opt
f_opt
stepNum

定义f2.m文件

clear all;clc;
f=@(x) x^3-2*x^2+1;
a=0;
b=3;
ferror=0.001;
[x_opt,f_opt,stepNum]=Fibonacci(f,a,b,ferror);x_opt
f_opt
stepNum

3.运行结果：

运行f1.m文件后的结果为：

运行f2.m文件后的结果为：

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一维问题(1)的求解：

一维问题(2)的求解：

3.运行结果：

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2.代码实现：

3.运行结果：

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