概率论与数理统计---------分布函数
一、连续型随机变量与概率密度函数
1、概率密度函数定义:非负可积函数f(x),f(x)>=0.a<=b,P{a<x<=b}=f(x)在(a,b)范围内的积分。其中x称作连续变量,f(x)称作概率分布密度函数。
2、概率分布密度函数性质:①f(x)>=0 ②f(x)在-∞到+∞的积分=1 ③连续变量取个别值的概率为0
④
⑤概率为0的事件未必为不可能事件,概率为1的事件未必为必然事件
二、分布函数
1.离散型和连续型随机变量都有分布函数,但是要区别说明。
2.分布函数公式F(x)=P(X<=x),x∈(-∞,+∞),F(x)∈[0,1]。函数的含义是X取值不超过x的概率。F(x)是一个普通的实函数
3.分布函数性质
①:x∈(-∞,+∞),F(x)∈[0,1]。②:F(x)不减函数,即x1<=x2,F(x1)<=F(x2)
③: ④:
⑤:F(x)是右连续的(离散型随机变量是右连续,连续型随机变量是连续),且至多有可列个间断点
右连续指的是从函数点右边逼近时的函数值等于这一点的函数值,,表示为F(a+0)。
左连续指的是从函数点左边逼近时的函数值等于这一点的函数值,,表示为F(a-0)。
连续指的是某一点处极限值存在,函数值存在,且极限值等于函数值,从左右逼近的函数值等于这一点的函数值,
⑥:下面的公式对离散型和连续型随机变量都成立
4、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量是右连续,从图像中可以看出从0到2的线上,从右向左趋近会趋于1/2。而不是左连续的,从图像中可以看出从0到1的线上,从左向右趋近到1的值为1/4,但1处的值实际上是1,所以不是左连续。
三、分布函数
离散型随机变量的分布函数
1、0-1分布{又叫伯努利分布}(有两种结果0,1。且试验只做一次)
0-1分布是二项分布的一个特例
2、几何分布
假设事件A发生的概率是P(A)=P,做n次试验,事件A在第k次是首次发生,前k-1次未发生。则A事件在第k次发生的概率为
3、二项分布
假设事件A发生的概率是P(A)=P,做n次试验,事件A发生了k次。则A事件发生k次的概率为
二项分布的图像如下图所示,对于固定的n以及p,当k增加时,概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少。可以证明,一般的二项分布也具有这一性质。且
当(n+1)p不为整数时,二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值;
当(n+1)p为整数时,二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。
4、泊松分布
泊松分布在计算的时候可以查表来计算。
某些二项分布可以用泊松分布的计算公式来计算。需要满足的条件是:n较大,p较小,np适中。n>=100,λ=np<=10
5、超几何分布
超几何分布中,当N很大,n/N很小的时候,可以看成二项分布,然后再近似成泊松分布进行计算
连续型随机变量的分布函数
6、均匀分布
均匀分布的概率密度函数:
均匀分布的分布函数:
分布函数的图像:
7、指数分布
8、正态分布
标准正态分布
一般正态分布转化为标准正态分布
概率密度函数:将转化为。公式为
分布函数:将转化为。公式为
例:
四、随机变量函数的分布
离散型随机变量
连续型随机变量
方法:①:根据给定的关于随机变量的函数计算分布函数,化解出随机变量的分布函数
②:对化解出的等式左右两边求导,就可得到各自的概率密度函数
③:注意在求导的的时候要导到底
④:若关于随机变量的函数里有未知的变量,需要考虑变量与0的关系
线性函数和非线性函数
线性函数指变量前可以有系数并相加减的函数
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