#前言#
前言部分讲了为什么使用CSDN记录数学笔记和为什么要学《概率论与数理统计》的原因，和实际学习内容没有关系。

之前学线性代数的时候写的笔记都在纸质的笔记本上，在纸质上面想查询比较麻烦，只能一页一页翻。现在想记在电脑上，后续如果想看纸质的还可以打印出来，所以后来在word上记过一段时间,word里的数学公式编辑器虽然好用，但是使用鼠标点起来太累。后来想用Latex，Latex编辑公式的确好用，但它不支持中文，后来又想到了CSDN的Markdown，感觉比较好的结合了中文和Latex的数学编辑功能，但其缺点是只能在线写，不过还好，可以导出到本地，并从本地导入。所以选择了在CSDN使用Markdown记录数学学习的笔记。

至于为什么要学习《概率论与数理统计》，那是因为在学机器学习时，在看完吴恩达老师的第三课“过拟合和欠拟合”后，发现需要用到最大似然估计，根本听不懂，所以开始学习概率论与数理统计。

数学知识用自己的语言去描述真的好难，而且还要理解的非常透彻后才可能表达出来，所以相关概念只能按部就班先记下来，供后续学习参考使用。

由于我是学到“第3章随机变量及基分布”时才发现自己学不下去了，好多概念还没有理解，所以从这章的分布函数开始记笔记，如果分布函数之前的章节的内容后续有必要的话再补充。

基本概念

随机试验
具体有如下特点的实验称为随机试验，简称为试验，以字母EEE表示。

试验可以在相同条件下重复进行；
试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；
每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但空间出现哪一个结果，试验前不能确切预言。

基本事件样本点样本空间
随机试验的每一个可能结果称为基本事件，也称为样本点 ，用eee表示。全体基本事件的集合称为样本空间，记为SSS。
随机事件
在试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件，以字母A,B,C,…A,B,C,\dotsA,B,C,…表示。
随机变量
设EEE是随机试验，它的样本空间是SSS。如果对SSS中的每个基本事件eee，都有唯一的实数值X(e)X(e)X(e)与之对应，则称X(e)X(e)X(e)为随机变量，简记为XXX.
离散型随机变量
只能取有限个值或可列无穷多个值的随机变量XXX称为离散型随机变量。
#分布函数#
对于任意实数x1<x2x_1<x_2x1<x2有P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)−P(X≤x1)(1)P(x_1<X\le x_2)=P(X\le x_2)-P(X \le x_1) \tag 1P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)−P(X≤x1)(1)
给定一个随机变量XXX，称定义域为(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)的实值函数F(x)=P(X≤x)(2)F(x)=P(X\le x) \tag 2F(x)=P(X≤x)(2)
为随机变量XXX的分布函数。也记为FX(x)F_X(x)FX(x)。
其实这里只要明白了分布函数其实就是随机变量X小于等于某个值的概率就可以了。\color{red}{其实这里只要明白了分布函数其实就是随机变量X小于等于某个值的概率就可以了。}其实这里只要明白了分布函数其实就是随机变量X小于等于某个值的概率就可以了。

事件x1<X≤x2x_1<X\le x_2x1<X≤x2的概率可写成P(x1<X≤x2)=F(x2)−F(x1)(3)P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1) \tag 3P(x1<X≤x2)=F(x2)−F(x1)(3)
可画坐标图理解3式。\color{red}{可画坐标图理解3式。}可画坐标图理解3式。
这样概率就可以和分布函数对应上了，而分布函数是一个普通的函数，可以使用数学分析工具(比如微积分)来研究随机变量。

分布函数具有如下性质:

0≤F(x)≤1(−∞<x<+∞)0\le F(x) \le 1(-\infty<x<+\infty)0≤F(x)≤1(−∞<x<+∞)
F(x1)≤F(x2),x1<x2,即F(x)是单调非减的\ F(x_1)\le F(x_2),x_1<x_2,即F(x)是单调非减的 F(x1)≤F(x2),x1<x2,即F(x)是单调非减的
F(−∞)=lim⁡x→−∞F(x)=0F(+∞)=lim⁡x→+∞F(x)=1F(-\infty)=\lim_{x \to -\infty}F(x)=0 \\ F(+\infty)=\lim_{x \to +\infty}F(x)=1F(−∞)=limx→−∞F(x)=0F(+∞)=limx→+∞F(x)=1
$F(x^+)=F(x),即F(x)是右连续的 $

第1条性质很好理解，分布函数即是随机变量XXX小于等于xxx的概率，而概率肯定是在000和111之前的。
第2条性质，理解分布函数的性质就能理解了，因为分布函数是小于等于xxx的概率，所以如果x1<x2x_1<x_2x1<x2，那么x2x_2x2的概率肯定不会比x1x_1x1的概率小，等于是可能的，因为如果落在x1x_1x1和x2x_2x2之间的概率如果为000的话，那么P(X≤x2)=P(X≤x1)P(X\le x_2)=P(X\le x_1)P(X≤x2)=P(X≤x1)，而F(x1)=P(X≤x1),F(x2)=P(X≤x2)F(x_1)=P(X\le x_1),F(x_2)=P(X\le x_2)F(x1)=P(X≤x1),F(x2)=P(X≤x2)，所以 F(x1)≤F(x2)F(x_1)\le F(x_2)F(x1)≤F(x2)。
第3条性质好理解。
第4条可以看书上P56P_{56}P56的例3.3.1，如图上所示其实只要观注跳跃点即可，而跳跃点的概率是落在右边区域范围内的，所以是右连续。

可以看书本P56∼P57P_{56}\sim P_{57}P56∼P57三个例子加深对分布函数及其性质的理解。

#本文所需的其它知识#
高等数学中的正无穷、负无穷、连续和极限概念。

参考书籍#

《概率论与数理统计（第二版）》哈尔滨工业大学数学系王勇主编

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概率论与数理统计---分布函数

基本概念

参考书籍#

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