期权定价公式的推导（欧式）

1.C=e−rTEQ[max(ST−K,0)]C = e^{-rT}E^{Q}[max(S_T-K,0)]C=e−rTEQ[max(ST−K,0)]
又可以写为C=e−rTEQ[(ST−K)]IIST>=K](1)C = e^{-rT}E^{Q}[(S_T-K)]II_{S_T > =K }] \tag 1 C=e−rTEQ[(ST−K)]IIST>=K](1)
其中QQQ表示在风险中性下的利率测度
IIST>=KII_{S_T >= K}IIST>=K为示性函数，用来表示STS_TST和KKK之间的关系。

2.现实环境中，股票价格的变动可以用如下公式来描述：
dSt=μStdt+σStdwt(2)dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdw_t \tag2dSt=μStdt+σStdwt(2)
其中wtw_twt为布朗运动
现实环境下和风险中性环境下，股票价格的变动布朗运动（随机变化部分）的关系如下wtp+∫0tθsdt=wtQ(3)w_t^{p} + \int_{0}^{t} \theta_s d_t = w_t^{Q} \tag3wtp+∫0tθsdt=wtQ(3)

所以，将（2）式带入（3）式中得到在风险中性测度下股票价格的变化公式(常数项不变，照抄即可)：
dStQ=μStdt+σSt(dWtQ−θsdt)(4)dS_t^{Q} =\mu S_tdt +\sigma S_t(dW_t^{Q}-\theta_s dt) \tag4dStQ=μStdt+σSt(dWtQ−θsdt)(4)

因为θs=μ−rσ\theta_s =\frac{\mu - r}{\sigma}θs=σμ−r,所以
dStQ=rStdt+σStdWtQ(5)d S_t^{Q} = rS_tdt + \sigma S_t dW_t^{Q} \tag5dStQ=rStdt+σStdWtQ(5)
⇒St=S0exp((r−12σ2)t+σWtQ)\Rightarrow S_t = S_0 exp((r-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t^{Q})⇒St=S0exp((r−21σ2)t+σWtQ)

因为dwt=ϵTdw_t = \epsilon \sqrt{T}dwt=ϵT,其中ϵ\epsilonϵ服从正态分布，T为时间，所以⇒ST=S0exp[(r−12σ2)T+σϵT](6)\Rightarrow S_T = S_0 exp[(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \epsilon \sqrt{T}] \tag 6⇒ST=S0exp[(r−21σ2)T+σϵT](6)

lianjie

如果ϵ\epsilonϵ服从N(0,1)N(0,1)N(0,1),则E[em+λϵIIϵ>a]=∫a∞em+λϵ.2πe−ϵ22E[e^{m+\lambda \epsilon II_{\epsilon > a}}] = \int_a^\infty e^{m+\lambda \epsilon}.\sqrt{2\pi}e^{\frac{-\epsilon^2}{2}}E[em+λϵIIϵ>a]=∫a∞em+λϵ.2πe2−ϵ2,其中m,λ,am,\lambda,am,λ,a为常数，得到：∫a∞em+λϵ12πe−ϵ22dϵ\int _a^{\infty}e^{m+\lambda \epsilon} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}d\epsilon∫a∞em+λϵ2π1e−2ϵ2dϵ 令ϵ=x\epsilon = xϵ=x
⇒∫a∞12πe−(x−λ)22eλ2+m\Rightarrow \int _a^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^\frac{-(x-\lambda)^2}{2}e^{\frac{\lambda}{2}+m}⇒∫a∞2π1e2−(x−λ)2e2λ+m 令y=x−λy = x-\lambday=x−λ ⇒∫a−λ∞12πe−y22eλ22+mdy(0)\Rightarrow \int_{a-\lambda}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-y^2}{2}}e^{\frac{\lambda^2 }{2}+m}dy \tag 0⇒∫a−λ∞2π1e2−y2e2λ2+mdy(0)
所以，式（0）也是服从标准正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1) 的
所以原式=eλ22[1−N(a−λ)]=eλ22+mN(λ−a)e^{\frac{\lambda^2}{2}}[1-N(a-\lambda)] = e^{\frac{\lambda^2}{2}+m }N(\lambda -a )e2λ2[1−N(a−λ)]=e2λ2+mN(λ−a)

4.可以将（1）式写为C=e−rTEQ[STIIST>=K]−EQ[KIIST>=K](7)C = e^{-rT}E^{Q}[S_TII_{S_T > =K }] -E^Q[ K_II{S_T > =K } ] \tag 7 C=e−rTEQ[STIIST>=K]−EQ[KIIST>=K](7)其中e−rTEQ[STIIST>=K]e^{-rT}E^Q[S_T II_{S_T>=K}]e−rTEQ[STIIST>=K]等价于

期权定价公式的推导（欧式）相关推荐

kalman滤波器公式的推导
卡尔曼滤波的使用范围: 该系统要有如下关系: 计算步骤: PART0:INI PART1:Time update 迭代的目标:从X(K-1)+ 求得X(K) + 因此,先有X(K-1)+,已知F,G. ...
python基于rsa的数字签名实现_青岛宽客聚会期权定价公式基于python的实现
点击上方蓝字,关注宽客空间 2020年8月16日,宽客空间走进石岭资产,参加了青岛宽客聚会的活动.本次活动分享题目为<期权定价公式基于python的实现>.本次活动的主讲人是来自青岛石岭资 ...
matlab三角函数降次,三角函数降次公式及推导过程
三角函数中的降次幂公式可降低三角函数指数幂.多项式各项的先后按照某一个字母的指数逐渐减少的顺序排列,叫做这一字母的降次.接下来分享三角函数降次公式及推导过程. 三角函数降次公式 sin²α=(1-co ...
梯度下降法参数更新公式的推导
梯度下降法参数更新公式的推导先来回顾一下梯度下降法的参数更新公式: (其中,α是学习速率,是梯度) 这个公式是怎么来的呢?下面进行推导: 首先,如果一个函数 n 阶可导,那么我们可以用多项式仿造一个 ...
Batch Normalization 反向传播（backpropagation ）公式的推导
What does the gradient flowing through batch normalization looks like ? 反向传播梯度下降权值参数更新公式的推导全依赖于复合函数求 ...
二维随机变量函数卷积公式的推导
二维随机变量函数卷积公式的推导 @(概率论) 给定Z=g(x,y)Z = g(x,y) 通常需要求FZ(z),fZ(z)F_Z(z),f_Z(z) 这里是由两个变元依据关系映射到一个变元,因此,求得F ...
圆锥曲线万能弦长公式_圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
<圆锥曲线的弦长公式及其推导过程>由会员分享,可在线阅读,更多相关<圆锥曲线的弦长公式及其推导过程(5页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于 ...
梅森公式的推导和探究
梅森公式的推导(篇三):梅森公式的推导和探究写在前: 本篇是<梅森公式的推导>的篇三,我的个人探究部分,尝试了梅森公式的推导和探究.篇一认识信号流图介绍了信号流图的基本概念和简单形式 ...
阿贝不变量等三个重要公式的推导
近轴光学系统中物体近似的可以成完善像. 根据上图,单折射球面光路示意图,可知近轴光学系统时,-u,u',i,i' ,h等都非常小. 满足h=lu=l'u': 根据三角形角度关系可知: 下面将开始推导第 ...
python障碍式期权定价公式
python障碍式期权定价公式早期写的障碍式期权的定价脚本 #coding:utf-8 ''' 障碍期权 q=x/s H = h/x H 障碍价格 [1] Down-and-in call cdi ...

期权定价公式的推导（欧式）

期权定价公式的推导（欧式）相关推荐

最新文章

热门文章