拓扑排序

原理

一个无环的有向图被称为有向无环图。
有向无环图是描述一个工程、计划、生产、系统等流程的有效工具。活动之间通常又一定的约束。例如先后顺序。
用节点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系的有向图，被称为AOV网。
在AOV网中，若<i,j>是图中的弧，则称节点i是节点j的直接前驱，节点j是节点i的直接后继。
AOV网中的弧表示了活动之间存在的制约关系。
拓扑排序指将AOV网中的节点排成一个线性序列，该序列必须满足：若从节点i到节点j有一条路径，则在该序列中节点i一定在节点j之前。
拓扑排序的基本思想：①选择一个无前驱的节点并输出；②从图中删除该节点和该节点的所有发出边；③重复步骤1、2，直到不存在无前驱的节点；④如果输出的节点数少于AOV网中的节点数，则说明网中有环，否则输出的序列即拓扑序列。
拓扑排序不是唯一的。

算法设计

求各节点的入度，将其存入数组indegree[]中，并将入度为0的节点入栈S。
如果栈不为空，则重复以下操作：①将栈顶元素i出栈并保存到拓扑序列数组topo[]中；②将节点i的所有邻接点入度都减1，如果减1后入度为0，则立即入栈S。
如果输出的节点数少于AOV网中的节点数，则说明网中有环，否则输出拓扑序列。

算法实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=105;
int map[maxn][maxn],indegree[maxn],topo[maxn];
int n,m;
stack<int>s;
bool TopoSort(); //拓扑排序
int main(){cin>>n>>m;memset(map,0,sizeof(map));memset(indegree,0,sizeof(indegree));for(int i=0;i<m;i++){int u,v;cin>>u>>v;map[u][v]=1; //节点u是节点v的直接前驱indegree[v]++;}TopoSort();for(int i=0;i<n-1;i++)cout<<topo[i]<<" ";cout<<topo[n-1]<<endl;return 0;
}bool TopoSort(){ //拓扑排序int cnt=0;for(int i=0;i<n;i++)if(indegree[i]==0) //将入度为0的节点入栈s.push(i);while(!s.empty()){ //栈不为空int u=s.top(); //栈顶元素出栈s.pop();topo[cnt++]=u;for(int j=0;j<n;j++)if(map[u][j])if(--indegree[j]==0) //减1后入度为0则入栈ss.push(j);}if(cnt<n) return 0;return 1;
}

输入：

输出：

5 0 3 2 4 1

训练1：家族树

题目描述

火星人的血缘关系制度令人困惑。在火星行星理事会中，令人困惑的家谱系统导致了一些尴尬；为了在所有讨论中不冒犯任何人，老火星人先发言，而不是年轻人或最年轻的无子女人员。但是，维护这个命令不是一项微不足道的任务，火星人并不会总是知道其父母和祖父母是谁，如果一个孙子先发言而不是其年轻的曾祖父先发言，则会出现错误。编写程序，保证理事会的每个成员都早于其每个后代发言。

输入：第1行包含整数N(1 \leq N \leq 100)，表示火星行星理事会的成员数。成员编号为1 ~ N。接下来的N行，第i行包含第i个成员的孩子名单。孩子的名单可能是空的，名单以0结尾。

输出：单行输出一系列发言者的编号，用空格分隔。如果有几个序列满足条件，则输出任意一个，至少存在一个这样的序列。

算法实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=105;
int map[maxn][maxn],indegree[maxn],topo[maxn];
int n;
stack<int>s;
void TopoSort(); //拓扑排序
int main(){cin>>n;memset(map,0,sizeof(map));memset(indegree,0,sizeof(indegree));for(int i=1;i<=n;i++){int v;while(cin>>v&&v){map[i][v]=1;indegree[v]++;}}TopoSort();for(int i=1;i<n;i++)cout<<topo[i]<<" ";cout<<topo[n]<<endl;return 0;
}
void TopoSort(){ //拓扑排序int cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(indegree[i]==0)s.push(i);while(!s.empty()){int u=s.top();s.pop();topo[++cnt]=u;for(int j=1;j<=n;j++)if(map[u][j])if(--indegree[j]==0)s.push(j);}
}

输入：

输出：

2 4 5 3 1

训练2：全排序

题目描述

不同值的升序排序序列是使用某种形式的小于运算符从小到大排序的元素序列。例如，排序后的序列ABCD表示A<B,B<C和C<D。给定一组A<B形式的关系，要求确定是否指定已排序的订单。

输入：输入包含多个测试用例。每个测试用例的第1行都包含两个正整数n(2≤n≤26)n(2 \leq n \leq 26)n(2≤n≤26)和mmm。nnn表示要排序的对象数量，排序的对象是大写字母的前nnn个字符。mmm表示将给出的A<BA<BA<B形式的关系的数量。接下来的mmm行，每行都包含一种由3个字符组成的关系；第1个大写字母。字符“<”和第2个大写字母。n=m=0n = m = 0n=m=0的值表示输入结束。

输出：对于每个问题实例，其输出都由一行组成，该行应该是以下三种之一。

在x种关系之后确定的排序顺序：yyy…y。
无法确定排序顺序
在x种关系后发现不一致。

算法设计

如果入度为0的节点个数为0，则说明有环；如果拓扑序列节点数小于n，则也说明有环。此情况即无序。
如果入度为0的节点个数大于1，则无法确定，因为拓扑序列不唯一。
否则是拓扑有序的，输出拓扑序列。
注意：①得到判断结果后不能break，需要继续输入，否则下一个测试用例会读入本次输入的剩余数据；②在数据输入完毕后才能判断是不是无法确定

算法实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<stack>
using namespace std;
int map[27][27],indegree[27],topo[27],temp[27];
int n,flag;//flag=1:有序 flag=-1:不确定
stack<int>s;
int TopoSort(int n);
int main(){int m,n;bool sign;//当sign=1时，已得出结果string str;while(cin>>n>>m){if(m==0&&n==0) break;memset(map,0,sizeof(map));memset(indegree,0,sizeof(indegree));sign=0;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>str;if(sign) continue; //一旦得出结果，对后续的输入不做处理int x=str[0]-'A'+1;int y=str[2]-'A'+1;map[x][y]=1;indegree[y]++;int s=TopoSort(n);if(s==0){ //有环printf("Inconsistency found after %d relations.\n",i);sign=1;}else if(s==1){ //有序printf("Sorted sequence determined after %d relations: ",i);for(int j=0;j<n;j++)cout<<char(topo[j]+'A'-1);printf(".\n");sign=1;}}if(!sign) //不确定printf("Sorted sequence cannot be determined.\n");}return 0;
}
int TopoSort(int n){ //拓扑排序flag=1;for(int i=1;i<=n;i++)temp[i]=indegree[i];//一边输入一边拓扑排序，所有入度数组不能改变int m=0,cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++)//查找入度为零的顶点个数，若>1，拓扑序不确定if(temp[i]==0){s.push(i);cnt++;}if(cnt==0) return 0; //有环if(cnt>1) flag=-1; //不确定while(!s.empty()){cnt=0;int i=s.top();s.pop();topo[m++]=i;for(int j=1;j<=n;j++)if(map[i][j]){temp[j]--;if(!temp[j]){ //若入度为0，则入栈ss.push(j);cnt++;}}if(cnt>1) flag=-1;//不确定}if(m<n)//有环return 0;return flag;
}

输入：

4 6
A<B
A<C
B<C
C<D
B<D
A<B
3 2
A<B
B<A
26 1
A<Z
0 0

输出：

Sorted sequence determined after 4 relations: ABCD.
Inconsistency found after 2 relations.
Sorted sequence cannot be determined.

训练3：标签球

题目描述

有N个不同重量的球，重量为1~N个单位。对球从1到N进行标记，使得：①没有两个球具有相同的标签；②标签满足几个约束，例如“标签为a的球比标签为b的球轻”。

输入：第1行包含测试用例的数量。每个测试用例的第1行都包含两个整数N(1 \leq N \leq 200)和M(0 \leq M \leq 40000)，分别表示球的数量和约束的数量。后面的M行，每行都包含两个整数a和b，表示标签为a的球比标签为b的球轻。在每个测试用例前都有一个空行。

输出：对于每个测试用例，都单行输出标签1~N的球的重量。如果存在多种解决方案，则输出标签为1的球的最小重量，然后输出标签为2的球的最小重量，依次类推…如果不存在解，则输出-1。

算法设计

可以采用两种方法解决：

建立正向图。i = n…1，j = n…1，检查第1个出度为0的点t，分配重量w[t] = i，将弧尾节点的出度减1，继续下一个循环。若没有出度为0的节点，说明有环，退出。
建立原图的逆向图。i = n…1，j = n…1，检查第1个入度为0的节点t，分配重量w[t] = i，将其邻接点的入度减1，继续下一个循环。若没有入度为0的节点，则说明有环，退出。

算法实现

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=205;
int map[maxn][maxn],in[maxn],w[maxn];
int n,m,T,u,v;
bool flag;
void TopoSort(); //拓扑排序
int main(){cin>>T;while(T--){memset(map,0,sizeof(map));memset(in,0,sizeof(in));cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>u>>v;if(!map[v][u]){//建立逆向图，检查重复边 map[v][u]=1;in[u]++;}}TopoSort();if(flag){cout<<-1<<endl;continue;}for(int i=1;i<n;i++)cout<<w[i]<<" ";cout<<w[n]<<endl;}return 0;
}
void TopoSort(){ //拓扑排序flag=0;for(int i=n;i>0;i--){int t=-1;for(int j=n;j>0;j--)if(!in[j]){t=j;break;}if(t==-1){//有环flag=1;return;}in[t]=-1;w[t]=i;for(int j=1;j<=n;j++)if(map[t][j])in[j]--;}
}

输入：

输出：

训练4 秩序

题目描述

给定x<y形式的变量约束列表，编写程序，输出与约束一致的变量的所有顺序。例如，给定约束x<y和x<z，变量x、y和z的两个排序与这些约束一致：xyz和xzy。

输入：输入由一系列约束规范组成。每个约束规范都有两行组成：一行为变量列表，后面一行为约束列表。约束由一对变量给出，其中x y表示x<y。所有变量都是单个小写字母。在约束规范中至少有两个且不超过20个变量，至少有一个且不超过50个约束，至少有一个且不超过300个与约束规范中的约束条件一致的顺序。

输出：对每个约束规范，都以字典顺序单行输出与约束一致的所有排序。不同约束规范的输出以空行分隔。

算法设计

将变量列表的字符转换为数字并统计出现次数，累计变量列表的长度。
将每队约束都转换为数字，用邻接矩阵存储并统计入度。
以回溯法求解所有拓扑序列并输出。

算法实现

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=50;
int map[maxn][maxn],in[maxn],s[maxn];//邻接矩阵，入度，标记出现
int ans[maxn];
string str,ord;//字符串，秩序
int len,num;//字符串长度，秩序长度
void dfs(int t); //回溯法找所有的拓扑序列
int main(){while(getline(cin,str)){memset(map,0,sizeof(map));memset(in,0,sizeof(in));memset(s,0,sizeof(s));len=str.length();int i,j=0;for(i=0;i<len;i++){if(str[i]!=' '){s[str[i]-'a']++;j++;}}len=j;getline(cin,ord);num=ord.length();for(i=0;i<num;i+=2){int u=ord[i]-'a';i+=2;int v=ord[i]-'a';map[u][v]=1;in[v]++;}dfs(0);cout<<endl;}return 0;
}
void dfs(int t){ //回溯法找所有的拓扑序列 if(t>=len){for(int i=0;i<len;i++)cout<<char(ans[i]+'a');cout<<endl;}for(int i=0;i<26;i++){if(!in[i]&&s[i]){s[i]--;for(int j=0;j<26;j++)if(map[i][j])in[j]--;ans[t]=i;dfs(t+1);for(int j=0;j<26;j++)//回溯还原现场 if(map[i][j])in[j]++;s[i]++;}}
}

输入：

a b f g
a b b f
v w x y z
v y x v z v w v

输出：

abfg
abgf
agbf
gabfwxzvy
wzxvy
xwzvy
xzwvy
zwxvy
zxwvy

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