陶哲轩实分析习题5.5.2

假设不存在这样的整数，即对于一切L<m⩽KL<m \leqslant KL<m⩽K都有mn、m−1n\frac{m}{n}、\frac{m-1}{n}nm、nm−1同时为EEE的上界或同时不为EEE的上界。
设性质P(i)P(i)P(i)定义为：in\frac{i}{n}ni不是EEE的上界。
下面使用归纳法证明P(K)P(K)P(K)成立，从而产生矛盾。
令m0=L+1m_0 = L+1m0=L+1，

由于L+1n\frac{L+1}{n}nL+1与Ln\frac{L}{n}nL对于EEE有相同的上界性，故P(m0)P(m_0)P(m0)成立。
对于每个整数b>m0b>m_0b>m0，如果满足m0⩽i<bm_0\leqslant i<bm0⩽i<b的整数iii都有P(i)P(i)P(i)成立，那么对于P(b)P(b)P(b)来说，因为P(b−1)P(b-1)P(b−1)成立，即b−1n\frac{b-1}{n}nb−1不是EEE的上界，故bn\frac{b}{n}nb也不是EEE的上界，P(b)P(b)P(b)成立。

根据归纳假设我们证明了对于一切L+1⩽mL+1\leqslant mL+1⩽m，都有P(m)P(m)P(m)成立。
结合限定条件：L<m⩽KL<m\leqslant KL<m⩽K得到：
对于一切L<m⩽KL<m\leqslant KL<m⩽K，P(m)P(m)P(m)成立，P(K)P(K)P(K)当然也成立。

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陶哲轩实分析习题17.1.2 转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/10/3828300.html
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