陶哲轩实分析习题 12.1.3

设 $X$ 是集合,并设 $d:X\times X\to [0,+\infty)$ 是函数.

(a)给出一个服从定义 12.1.2 的公理 (b),(c),(d) 但不服从 (a) 的 $(X,d)$ 的例子.

解:$\forall x,y\in X$,令 $d(x,y)=1$.

(b)给出一个服从定义 12.1.2 的公理 (a),(c),(d) 但不服从 (b) 的 $(X,d)$ 的例子.

解:$\forall x,y\in X$,令 $d(x,y)=0$.

(c)给出一个服从定义 12.1.2 的公理 (a),(b),(c) 但不服从 (d) 的 $(X,d)$ 的例子.

解:令 $X=\{a,b,c\}$.令 $f(a,a)=f(b,b)=f(c,c)=0$. $f(a,b)=f(b,a)=3$,$f(a,c)=f(c,a)=1$,$f(b,c)=f(c,b)=1$.

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