卢卡斯Lucas定理

LUCAS\mathscr{LUCAS} LUCAS

内容

(nm)≡(⌊np⌋⌊mp⌋)⋅(nmodpmmodp)modp\binom{n}{m} \equiv \binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \cdot \binom{n \mod p}{m \mod p} \mod p (mn)≡(⌊pm⌋⌊pn⌋)⋅(mmodpnmodp)modp

其中ppp为质数。

上式称为Lucas定理。

证明

生成函数(1+x)n(1+x)^n(1+x)n项xmx^{m}xm前的系数为(nm)\binom{n}{m}(mn)，因此

(1+x)n≡(1+x)p⌊np⌋(1+x)nmodpmodp(1+x)^n \equiv (1 + x)^{p \lfloor \frac{n}{p} \rfloor} (1 + x)^{n \mod p} \mod p (1+x)n≡(1+x)p⌊pn⌋(1+x)nmodpmodp

多项式(1+x)pmodp(1 + x)^p \mod p(1+x)pmodp：

(1+x)p≡∑i=0p(pi)xi=1+xpmodp(1 + x)^p \equiv \sum_{i = 0}^{p}\binom{p}{i}x^i = 1 + x^p \mod p (1+x)p≡i=0∑p(ip)xi=1+xpmodp

此处考虑ppp是质数，式子(pi)\binom{p}{i}(ip)，当且仅当i=0i =0i=0或i=pi=pi=p的时候模为111。

故：

(1+xp)⌊np⌋(1+x)nmodpmodp(1 + x^p)^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor} (1 + x)^{n \mod p} \mod p (1+xp)⌊pn⌋(1+x)nmodpmodp

那么卷积对xmx^mxm项的贡献只有当前项取ppp的倍数，后项取余数的时候才能取到，
因此：

证毕。

例题

P3807

预处理阶乘+费马小定理求逆元，Lucas定理的运用。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;#define FR freopen("in.txt", "r", stdin)
#define FW freopen("out1.txt", "w", stdout)#define MAXT 100010
#define INV(x) fpow(x, p - 2, p)ll fac[MAXT];ll fpow(ll a, ll e, ll p)
{ll ans = 1;a %= p;for (; e; e >>= 1, a = (a * a) % p){if (e & 1)ans = (ans * a) % p;}return ans;
}void prework(ll p)
{fac[0] = fac[1] = 1;for (ll i = 2; i <= p; i++){fac[i] = (fac[i - 1] * i) % p;}
}ll C(ll n, ll m, ll p)
{if (m > n)return 0;if (m == 0)return 1;return (((fac[n] * INV(fac[m])) % p) * INV(fac[n - m])) % p;
}ll lucas(ll n, ll m, ll p)
{if (m == 0)return 1;return (lucas(n / p, m / p, p) * C(n % p, m % p, p)) % p;
}int main()
{int t;scanf("%d", &t);while (t--){ll n, m, p;scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p);prework(p);printf("%lld\n", lucas(n + m, n, p));}return 0;
}

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