洛谷OJ P1074 靶形数独解题报告

by MedalPluS

题目描述

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他
们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向 Z 博士请教，
Z 博士拿出了他最近发明的“靶形数独”，作为这两个孩子比试的题目。
靶形数独的方格同普通数独一样，在 9 格宽×9 格高的大九宫格中有 9 个 3 格宽×3 格
高的小九宫格（用粗黑色线隔开的）。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入 1 到 9 的数字。每个数字在每个小九宫格内不能
重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即
每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。（如图）

上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为 10 分，黄色区域外面的一圈（红
色区域）每个格子为 9 分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为 8 分，蓝色区域外面一圈（棕
色区域）每个格子为 7 分，最外面一圈（白色区域）每个格子为 6 分，如上图所示。比赛的
要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独可能有不同的填法），而且要争取
更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字
的乘积的总和
总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字
的乘积的总和。如图，在以下的这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分数为 2829。游戏规定，将以总分数的高低决出胜负。

由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能
够得到的最高分数。

输入格式

一共 9 行。每行 9 个整数（每个数都在 0―9 的范围内），表示一个尚未填满的数独方
格，未填的空格用“0”表示。每两个数字之间用一个空格隔开

输出格式

输出可以得到的靶形数独的最高分数。如果这个数独无解，则输出整数-1。

分析

此题对搜索算法的考察十分透彻，下面来剖析一下：

就是给你一个数独，使得填好以后的总价值最大

这样就可以想到搜索

利用几个数组记录当前的点所在行、列、九宫格那些点被用过了

这样有75分

我们考虑倒着搜，这样可以先搜到最优解，所以时间可以得到优化

这样有90分

然后我们考虑剪枝，如果当前剩余的格子*10+w＜目前最优值，那么肯定不行，

这样有95分

我们发现，如果单纯一行一行的搜很耗时间，所以把记下来

这样就AC了

代码

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4
 5 const int maxn=10;
 6 const int sudoku[maxn][maxn]={
 7                               {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
 8                               {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},
 9                               {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},
10                               {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},
11                               {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},
12                               {0,6,7,8,9,10,9,8,7,6},
13                               {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},
14                               {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},
15                               {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},
16                               {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},
17 };
18
19
20 int a[maxn][maxn];
21 bool row[maxn][maxn],col[maxn][maxn];//第i行(列)数字j是否被使用
22 bool p[maxn][maxn];//第i个九宫格数字j是否被使用
23 int ans,deep;
24 int pos[maxn*maxn][2],d;//第i个待定的格子
25
26 void clean(){
27     memset(row,false,sizeof(row));
28     memset(col,false,sizeof(col));
29     memset(p,false,sizeof(p));
30 }
31
32 int cache(int x,int y){//查询(i,j)在第几个九宫格
33     if(x<=3 && y<=3)return 1;
34     if(x<=3 && y<=6)return 2;
35     if(x<=3 && y<=9)return 3;
36     if(x<=6 && y<=3)return 4;
37     if(x<=6 && y<=6)return 5;
38     if(x<=6 && y<=9)return 6;
39     if(y<=3)return 7;
40     if(y<=6)return 8;
41     if(y<=9)return 9;
42 }
43
44 void dfs(int d,int w){
45     if(++deep>10000000)return;
46     if(!d){
47       if(ans<w)ans=w;
48       return;
49     }
50     int i,x=pos[d][0],y=pos[d][1];
51     int k=cache(x,y);
52     for(i=1;i<=9;i++)
53        if(!row[x][i] && !col[y][i] && !p[k][i])
54        {
55             row[x][i]=col[y][i]=p[k][i]=true;
56            dfs(d-1,w+sudoku[x][y]*i);
57          row[x][i]=col[y][i]=p[k][i]=false;
58        }
59 }
60
61 int main(){
62     int i,j,tmp=0;
63     clean();
64     for(i=1;i<=9;i++)
65       for(j=1;j<=9;j++){
66         scanf("%d",&a[i][j]);
67         if(a[i][j]){
68           row[i][a[i][j]]=true;
69           col[j][a[i][j]]=true;
70           p[cache(i,j)][a[i][j]]=true;
71           tmp+=sudoku[i][j]*a[i][j];
72         }
73         else{
74           d++;
75           pos[d][0]=i;
76           pos[d][1]=j;
77         }
78     }
79     dfs(d,tmp);
80     cout<<(ans==0?-1:ans);
81     return 0;
82 }

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