算术逻辑单元(How Computes Calculate——The ALU)

一.前言

前面文章学习了逻辑门，那么一个个逻辑门是如果组合进行运算的呢?我们首先来了解计算机的运算基础单元——ALU，ALU就是一个个逻辑门组成的运算单元。

下图为第一个在单个芯片内的完整ALU，他是1970年发布的，这个芯片可以说是当时科技领域惊人的壮举，但是通过这一章的学习，我们来简做一个简单ALU电路，功能和因特尔74181一样。

二.“算术逻辑单元”(ALU)

如果想让两个数字完成相加运算，我们就要用“算术逻辑单元”(ALU)来处理，ALU就是计算机负责计算的组件，基本其他的组件也会用到它。

ALU有1个“算术单元”和一个“逻辑单元”组成

1.“算术单元”实现一个行波进位加法器

下面就通过一个例子来实现:ALU实现两个数字相加。

我们可以用一个个晶体管去拼，把这个电路做出来，但很快就会复杂的难以理解，所以我们为了便于理解，用更高层的抽象，之前学到的逻辑门来做，我们会用到AND，OR，NOT和XOR逻辑门

1.“半加器”

我们用二进制计算时会有四种情况(要理解下面的知识，你必须要先搞懂二进制)

1.0+0=0

2.1+0=1

3.0+1=1

4.1+1=10

我们会发现前三种情况输出和我们前面讲到的异或门XOR完全一致

至于1+1=10这种情况，我们也可以用小学数学学加法的一种思想:满十近一，只不过在二进制里，最大的个位数是1，所以要满二近一，所以1+1=10。

我们看异或门XOR只对了一部分，就是让1+1=0，但是没有记录近一位1，我们可以改进一下电路，加入一个AND门

如图:

我们可以用XOR门的输出记录当前位的运算值，用AND门口输出记录近位值，我们放大上面这张图，这个电路有个专门的名字——“半加器”

如图所示:

理解上面这两个这个“半加器”的输入输出后，为了便于理解，我们把这个半加器抽象为一个整体组件，如图:

2.“全加器”

但是半加器其实只能处理“个位数”的运算，比如“111+111=1110”这个算式，如果我们只用满二加一的思想，会出现近一位后还要运算一加一，则会出现1+1+1的运算，这种运算情况我们需要在当前位写1，近位也要写1，很明显“半加器”已经无法满足这个运算，所以我们需要对半加器进行升级，升级后的组件叫“全加器”，如图为全加器算术表格:

我们可以用两个半加器加上一个OR门封装一个全加器组件，OR门的作用就是检查近位，如图:

全加器有三个输入，一个近位值，一个总和值。

了解完全加器和半加器之后，我们来用它们制做一个更加复杂的8位加法器，半加器可以完美的处理二进制的“个位运算”，所以可以将半加器作为8位加法器的个位运算组件，也就是8位数的第一位和第二位值的运算，然后将个位运算结果输入到下一个全加器，然后与8位数的第三位进行运算，运算的输出结果再输入到下一个全加器……以此类推到第8位的全加器

如图是一个完整的8位加法器组件连接:

我们观察最下面那个全加器的输出carry，如果第九位任然有近位，代表输入两个数字的和太大了，超过了8位加法器的运算范围，我们称之的“溢出”(overflow)

小时候玩吃豆子游戏就是一个8位溢出的最好例子，当我们通关第255关后，继续下一关游戏就会出现乱码，因为8位的最大值是十进制的255，因此256关会造成溢出bug，这个bug也成为了厉害吃豆人的代表

若果要避免溢出，我们可以加更多的全加器，以便于操作16位或者32位数字，让溢出更难发生，但代价是更多的逻辑门，另一个缺点是，每次近位都要一点时间，当然时间也不久，因为电子自动速度很快，但是对于如今的量级是每秒几十亿次运算，每一点时间都不容小觑的，所以现代计算机用的加法电路和我们上面说的有点不同，叫“超前近位加法器”，它更快，但做的事情也是一样的——二进制的相加

ALU的算术单元，还可以做如下数学运算，就像前面的加法器一样，这些操作也是由一些逻辑门构成的，我们只要简单了解就好了。

有趣的是，你可能会注意到上面的数学运算没有乘法和除法，那是因为简单的ALU没有专门的电路来处理乘除，而是把乘法多次加法来实现，你可能觉得这不是一种很好的设计，但是对于很多简单的处理器已经足够用了，同样也可以节约制作的成本，比如我们生活中用到的电视遥控器，微波炉，恒温器等等。

当然对于运算要求很高的设备如手机和电脑，它们的处理器，是有专门的乘除算术单元的。

你可能猜到了，乘法电路比加法复杂，不过也没有什么魔法，只是很多的逻辑门罢了，有兴趣的可以自行资料了解，这里就不做深入了。

2.“逻辑单元”

我们接下来讲ALU的另一半:“逻辑单元”

逻辑单元用来执行逻辑操作，比如之前讨论过的AND，OR，NOT操作都可以说是逻辑单元，它也能做简单的数值测试，比如逻辑单元可以检测一个数字是不是负数。

下面我们先来看一个“检查ALU输出是否为0”的电路，下面电路只有所有输入为0时才会输出1，这个电路我们后面文章会用到。

我们分析完上面电路后继续回到我们文章最开始提到的因“特尔74181”，“特尔74181”用了大概七十多个逻辑门，也不能进行乘除运算，而且只支持处理4位输出，比我们刚刚做的8位输出的ALU还低( ´͈ ᗨ `͈ )，不过我们做的没有人家完整，但是我们已经了解了完整的概念，如图为“特尔74181”的逻辑门:

看这个4位的逻辑门就已经很复杂了，不用担心，我们不必要去想这些复杂的电路，我们把这个逻辑门也抽象位为一个整体组件

如图所示:

我们的8位ALU有两个输入(图上边两个)，我们命名为输入A和B，都是8位(bits)，我们还需要告诉ALU执行什么操作，所以我们加入一个组件来专门记录我们的操作代码(图左边)，我们用4位记录操作代码，我们这里用“1000”代表加法命令代码，“1100”代表减法命令代码，操作代码会告诉ALU执行什么操作，我们还需要一个8位的输出(图下边)，最后ALU还需要输出一堆标志(flag)(图右边三个标志，分别是输出是否溢出标志，输出是否为0标志，输出是否为负数标志)，当然还可以有其他标志，我们目前只涉及这三个。

例如我们的ZERO标志判断输出是否为0，可以用来判断两个输入值是否相等，ZERO标志里面的逻辑就用到了我们前面提到的电路，如图所示:

三.总结

我们现在知道了，计算机的最基础原件是如何进行运算的，后面两章，我们在学习完内存和寄存器之后，会用ALU做一个CPU，来整体了解计算机的运行过程。