1.定义

A∈Cn,Z∈Cn，A\in C^n,Z\in C^n，A∈Cn,Z∈Cn，若存在AZA=A,ZAZ=Z,(AZ)H=AZ,(ZA)H=ZA,AZA=A,ZAZ=Z,(AZ)^H=AZ,(ZA)^H=ZA,AZA=A,ZAZ=Z,(AZ)H=AZ,(ZA)H=ZA,则称ZZZ为AAA的moore−Penrosemoore-Penrosemoore−Penrose逆，记为A+A^+A+

2.存在性的证明

令Z=VD~UH,Z=V\widetilde{D}U^H,Z=VDUH,其中D~\widetilde{D}D为

进行验证可以得到

AZA=UDVHVD~UHUDVH=UDD~DVH=UDVH=AAZA=UDV^HV\widetilde{D}U^HUDV^H=UD\widetilde{D}DV^H=UDV^H=AAZA=UDVHVDUHUDVH=UDDDVH=UDVH=A
ZAZ=VD~UHUDVHVD~UH=VD~UH=ZZAZ=V\widetilde{D}U^HUDV^HV\widetilde{D}U^H=V\widetilde{D}U^H=ZZAZ=VDUHUDVHVDUH=VDUH=Z
(AZ)H=(UDVHVD~UH)H=(UDD~UH)H=UDD~HUH(AZ)^H=(UDV^HV\widetilde{D}U^H)^H=(UD\widetilde{D}U^H)^H=UD\widetilde{D}^HU^H(AZ)H=(UDVHVDUH)H=(UDDUH)H=UDDHUH
(ZA)H=(VD~UHUDVH)H=VD~DVH(ZA)^H=(V\widetilde{D}U^HUDV^H)^H=V\widetilde{D}DV^H(ZA)H=(VDUHUDVH)H=VDDVH
不能想当然的认为DD~=I,D\widetilde{D}=I,DD=I,实际上

3.{1}逆的性质

rank(AB)≤min(rankA,rankB)rank(AB)\le min(rankA,rankB)rank(AB)≤min(rankA,rankB)
证明：用向量AorBA\ or\ BA or B它来表示ABABAB,从而说明rank(AB)≤A&rank(AB)≤Brank(AB)\leq A \& rank(AB)\leq Brank(AB)≤A&rank(AB)≤B

定理：设A∈Cm×n,B∈Cn×P，λ∈CA\in C^{m\times n},B\in C^{n\times P}，\lambda \in CA∈Cm×n,B∈Cn×P，λ∈C

(A(1))H∈AH{1}(A^{(1)})^H\in A^H\{1\}(A(1))H∈AH{1}
(AA(1)A)H=AH(A(1))HAH=AH,(AA^{(1)}A)^H=A^H(A^{(1)})^HA^H=A^H,(AA(1)A)H=AH(A(1))HAH=AH,由{1}逆的定义知，(A(1))H∈AH{1}(A^{(1)})^H\in A^H\{1\}(A(1))H∈AH{1}
λ+A(1)∈(λA){1}\lambda^+A^{(1)}\in (\lambda A)\{1\}λ+A(1)∈(λA){1}
λAλ+A(1)λA=λA,∴λ+A(1)∈λA{1}\lambda A\lambda^+A^{(1)}\lambda A=\lambda A,\therefore \lambda^+A^{(1)}\in \lambda A\{1\}λAλ+A(1)λA=λA,∴λ+A(1)∈λA{1}
S,TS,TS,T均为可逆方阵，则T−1A(1)S−1∈(SAT){1}T^{-1}A^{(1)}S^{-1}\in (SAT)\{1\}T−1A(1)S−1∈(SAT){1}
SATT−1A(1)S−1SAT=SAT,∴T−1A(1)S−1∈(SAT){1}SATT^{-1}A^{(1)}S^{-1}SAT=SAT,\therefore T^{-1}A^{(1)}S^{-1}\in (SAT)\{1\}SATT−1A(1)S−1SAT=SAT,∴T−1A(1)S−1∈(SAT){1}
rank(A(−1))≥rank(A)rank(A^{(-1)})\geq rank(A)rank(A(−1))≥rank(A)
rank(A)=rank(AA(1)A)≤rank(A(−1))rank(A)=rank(AA^{(1)}A)\le rank(A^{(-1)})rank(A)=rank(AA(1)A)≤rank(A(−1))
AA(1)和A(1)AAA^{(1)}和A^{(1)}AAA(1)和A(1)A均为幂等矩阵且与A同秩。
(AA(1))2=AA(1)AA(1)=AA(1)，rank(A)≥rank(AA(1))≥rank(AA(1)A)=rank(A),∴rank(AA(1))=rank(A)(AA^{(1)})^2=AA^{(1)}AA^{(1)}=AA^{(1)}，rank(A)\geq rank(AA^{(1)})\geq rank(AA^{(1)}A)=rank(A),\therefore rank(AA^{(1)})=rank(A)(AA(1))2=AA(1)AA(1)=AA(1)，rank(A)≥rank(AA(1))≥rank(AA(1)A)=rank(A),∴rank(AA(1))=rank(A)
(A(1)A)2=(A(1)AA(1)A)=A(1)A,rank(A)≥rank(A(1)A)≥rank(AA(1)A)=rank(A),∴rank(A(1)A)=rank(A)(A^{(1)}A)^2=(A^{(1)}AA^{(1)}A)=A^{(1)}A,rank(A)\geq rank(A^{(1)}A)\geq rank(AA^{(1)}A)=rank(A),\therefore rank(A^{(1)}A)=rank(A)(A(1)A)2=(A(1)AA(1)A)=A(1)A,rank(A)≥rank(A(1)A)≥rank(AA(1)A)=rank(A),∴rank(A(1)A)=rank(A)
R(AA(1))=R(A),N(A(1)A)=N(A),R((A(1)A)H)=R(AH)R(AA^{(1)})=R(A),N(A^{(1)}A)=N(A),R((A^{(1)}A)^H)=R(A^H)R(AA(1))=R(A),N(A(1)A)=N(A),R((A(1)A)H)=R(AH)
R(A)=R(AA(1)A)⊂R(AA(1))⊂R(A),∴R(AA(1))=R(A)R(A)=R(AA^{(1)}A)\subset R(AA^{(1)})\subset R(A),\therefore R(AA^{(1)})=R(A)R(A)=R(AA(1)A)⊂R(AA(1))⊂R(A),∴R(AA(1))=R(A)
N(A)⊂N(A(1)A)⊂N(AA(1)A)=N(A),N(A(1)A)=N(A)N(A)\subset N(A^{(1)}A)\subset N(AA^{(1)}A)=N(A),N(A^{(1)}A)=N(A)N(A)⊂N(A(1)A)⊂N(AA(1)A)=N(A),N(A(1)A)=N(A)
A(1)A=In⇔rank(A)=nA^{(1)}A=I_n\Leftrightarrow rank(A)=nA(1)A=In⇔rank(A)=n
必要性：rank(A(1)A)=rank(In)=n=rank(A)rank(A^{(1)}A)=rank(I_n)=n=rank(A)rank(A(1)A)=rank(In)=n=rank(A)
充分性：rank(A)=n,rank(A)=n,rank(A)=n,可知A(1)AA^{(1)}AA(1)A是可逆的，那么A(1)AA(1)A=A(1)A,A^{(1)}AA^{(1)}A=A^{(1)}A,A(1)AA(1)A=A(1)A,左右同右乘(A(1)A)−1,(A^{(1)}A)^{-1},(A(1)A)−1,得A(1)A=InA^{(1)}A=I_nA(1)A=In
AB(AB)(1)A=A⇔rank(AB)=rank(A)AB(AB)^{(1)}A=A\Leftrightarrow rank(AB)=rank(A)AB(AB)(1)A=A⇔rank(AB)=rank(A)

13penrose广义逆矩阵(I)相关推荐

Matlab与线性代数--广义逆矩阵
本微信图文详细介绍了Matlab中求解广义逆矩阵的方法.
【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第6章-广义逆矩阵及其应用
上一章回到目录下一章第6章-广义逆矩阵及其应用 6.1 矩阵的集中广义逆 6.1.1 广义逆矩阵的基本概念定义 6.1.1 6.1.2 减号逆 A−A^-A− 6.1.3 自反减号逆 Ar−A ...
三角矩阵的逆矩阵怎么求_电子科技大学矩阵理论复习笔记第六章广义逆矩阵...
本章针对奇异矩阵或长方形矩阵,如何实现求逆展开(1)构造出广义逆,(2)对广义逆的计算,(3)广义逆的应用 6.1 矩阵的单边逆为引入广义逆做铺垫. 值域 N(A)(null 零空间)同理,它表示的 ...
矩阵论（一）：广义逆矩阵（上）
矩阵论专栏:专栏(文章按照顺序排序) 本文以线性代数知识为基础.关于线代知识,如一些基本的秩(不)等式.零矩阵的判定条件等,可参考下面几篇博客. 矩阵论(零):线性代数基础知识整理(1)--逆矩阵.初 ...
高等工程数学 —— 第四章（1）线性方程组的直接解法与广义逆矩阵求解矛盾方程组
高等工程数学 -- 第四章 (1)线性方程组的直接解法与广义逆矩阵求解矛盾方程组文章目录高等工程数学 -- 第四章 (1)线性方程组的直接解法与广义逆矩阵求解矛盾方程组线性方程组的直接解法 Ga ...
矩阵分析：广义逆矩阵，{1}逆，MP逆，D逆
1,广义逆矩阵设满足下列四个方程: (1)(2) (3)(4) 的某个几个或全部,则称为的广义逆矩阵. 满足全部四个方程的广义逆矩阵称为的逆(存在且唯一). 设 ,若 ...
自己动手实现广义逆矩阵求解（2022.5.4）
动手实现矩阵广义逆求解(2022.5.4) 引言 1.逆矩阵和广义逆矩阵简介 1.1 逆矩阵 1.2 广义逆矩阵 1.3 广义逆矩阵求解流程 2.广义逆矩阵求解代码 2.1 Matlab代码及运行结果 ...
矩阵分析与计算学习记录-广义逆矩阵
本章重点内容: Penrose方程 {1}-逆的计算及性质 Moore-Penrose逆的计算及性质 tips:广义逆矩阵是在系数矩阵不可逆的情况下进行求解 1. Penrose方程 1.1 广义逆的 ...
【矩阵论】广义逆矩阵与线性方程组求解思维导图
前言:为什么需要广义逆矩阵? 我们在书中所学的逆矩阵A−1A^{-1}A−1必须是非奇异矩阵才行,但现实生活中有大量矩阵不一定是方阵,而就算是方阵也可能是奇异的(det⁡A=0)(\det A=0)( ...
【高等工程数学】南理工研究生课程突击笔记5 矩阵分解与广义逆矩阵
矩阵分解与广义逆矩阵文章目录矩阵分解与广义逆矩阵写在前面一.矩阵分解三角分解(Doolittle分解) 二.满秩分解 Hermite标准型广义逆矩阵A+ 解总结写在前面第三章主要内容 ...

13penrose广义逆矩阵(I)

penrose广义逆矩阵I

1.定义

2.存在性的证明

3.{1}逆的性质

13penrose广义逆矩阵(I)相关推荐

最新文章

热门文章