数值计算笔记之条件数

2024-04-11 13:15:36

0、范数

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一、方程组的性态

例： $AX=b \rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0.99 \\ 0.99 & 0.98 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.99\\ 1.97 \end{bmatrix}$

有准确解： $x = (1,1)^{T}$

现考虑右端项的微小扰动， $b^{'}=(1.989903,1.970106)^{T}$

则此时为方程组的解为： $x^{'}=(3,-1.0203)^{T}$ ，那么就称此类方程组是”病态“的。

条件数定义：称 $||A^{-1}||\cdot ||A||$ 为 $A$ 的条件数，记作： $cond(A) = ||A^{-1}||\cdot ||A||$

可以看到，其条件数的定义是用范数来定义的，而范数有很多的类型，所以可以使用下标来表示。

例： $cond_{\lambda }(A)=\sqrt{\frac{\lambda _{1}}{\lambda _{n}}}$ ，其中 $\lambda _{1}$ 为 $A^{T}A$ 的最大特征值， $\lambda _{n}$ 为 $A^{T}A$ 的最小特征值

特别的，当 $A=A^{T}$ 时， $cond_{\lambda }(A) = \frac{|\lambda _{1}^{'}|}{|\lambda _{n}^{'}|}$ ，其中 $\lambda _{1}^{'}$ 为 $A^{T}A$ 的最大特征值， $\lambda _{n}^{'}$ 为 $A^{T}A$ 的最小特征值

定理：如果 $cond(A)>>1$ ，则方程组 $AX=b$ 为”病态“的

例： $A=\begin{bmatrix} 1 &0.99 \\ 0.99 & 0.98 \end{bmatrix}$ （求解 $|\lambda I-A|=0$ )

求得 $cond_{\lambda }(A) = \frac{1.98005}{0.00005}=39600>>1$

$\therefore AX=b$ 的性态不好，或者说是 ”病态“的。

二、误差分析

设有矩阵方程 $AX=b$ 。其准确解为 $x^{*}$ ，某一近似解为 $x$ ，用 $||x-x^{*}||$ 来判断误差。

又由于 $x^{*}$ 未知，故常用 $||Ax-b||$ 来做误差分析。

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