数值计算笔记之插值(四)三次样条插值
0、定义
已知函数在区间上个互异节点,处的函数值为,若构造函数,满足:
- 在每个小区间上是一个不超过三次的多项式
- 在上连续
则称为的三次样条插值函数。
根据定义知道规律为:
已知:
- n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n
- 每一分段都是三次多项式函数曲线
- 节点达到二阶连续
- 左右两端点处特性(自然边界,固定边界,非节点边界)
根据定点,求出每段样条曲线方程中的系数,即可得到每段曲线的具体表达式。
一、推导
插值和连续性:
其中.
微分连续性:
其中.
样条曲线的微分式:
将步长 带入样条曲线的条件:
-
得
- ,.
- 设 ,那么 可改写为
- 将 带入 ,得
- 将 代入,得
至此,可以得到一个关于m为未知数的线性方程组,通过解这个方程组,确定其系数。
二、边界条件建立方程
边界条件有三种:自由边界条件、固定边界条件、非节点边界条件。
1、自由边界条件
两端没有任何限制,即。求解方程为:
2、固定边界条件
数据两端节点的微分值是已知的,令分别为A 和B。则有
则有
3、非节点边界条件
指定样条曲线的三次微分匹配,
由 .
则有
三、代码实现
1、matlab
在matlab中,spline函数可以实现三次样条插值。例:
clc;
clear;
//x = [ 0, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15 ];
//y = [0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6 ];
//x_ = 0:.1:15;
x = -pi:pi;
y = sin(x);
x_ = -pi:.1:pi;
p1 = spline(x,y,x_); % 分段三次样条插值
plot(x,y,'ko',x_,p1,'b.')
legend('插值节点','分段三次样条插值','location','southeast')
可以看出,由点组成得曲线比较平滑。
2、C++
程序我有用到矩阵库Armadillo,没有安装的请点这个安装教程链接
#include<iostream>
#include<armadillo>
#include<vector>
using namespace std;
using namespace arma;int main()
{double x[] = { 0, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15 };double y[] = { 0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6 };int size = sizeof(x) / sizeof(double);const double min = x[0];const double max = x[size - 1];vector<double> xx, yy; //插值点与计算的函数值for (double i = x[0]; i <= x[size - 1]; i = i + 0.1) {xx.push_back(i);}int size_xx = xx.size();vector<double> dx, dy; //差分,即步长for (int i = 0; i < size - 1; i++) {double temp_dx = x[i + 1] - x[i];dx.push_back(temp_dx);double temp_dy = y[i + 1] - y[i];dy.push_back(temp_dy);}mat H, Y, M; // H * M = YH.zeros(size, size);Y.zeros(size,1);//M.zeros(1, size);H(0, 0) = 1;H(size - 1, size - 1) = 1;for (int i = 1; i < size - 1; i++) {H(i, i - 1) = dx[i - 1];H(i, i) = 2 * (dx[i - 1] + dx[i]);H(i, i + 1) = dx[i];Y(i) = 3 * (dy[i] / dx[i] - dy[i - 1] / dx[i - 1]);}M = solve(H,Y);vector<double> ai, bi, ci, di; //系数for (int i = 0; i < size - 1; i++) {ai.push_back(y[i]);di.push_back((M(i + 1) - M(i)) / (3 * dx[i]));bi.push_back(dy[i] / dx[i] - dx[i] * (2 * M(i) + M(i + 1)) / 3);ci.push_back(M(i));}vector<int> x_, xx_;for (int i = 0; i < size; i++) {int temp = x[i] / 0.1;x_.push_back(temp);}for (int i = 0; i < size_xx; i++) {int temp = xx[i] / 0.1;xx_.push_back(temp);}for (int i = 0; i < size_xx; i++) {int k = 0;for (int j = 0; j < size - 1; j++) {if (xx_[i] >= x_[j] && xx_[i] < x_[j + 1]) {k = j;break;}else if (xx[i] == x[size - 1]) {k = size - 1;}}//yy(i) = y[i] + bi(k) * (xx[i] - x[k]) + 1 / 2.0 * M(i) * pow((xx[i] - x[k]) , 2) + di(k) * pow((xx[i] - x[k]),3);double temp = ai[k] + bi[k] * (xx[i] - x[k]) + M(k) * pow((xx[i] - x[k]), 2) + di[k] * pow((xx[i] - x[k]), 3);yy.push_back(temp);}std::ofstream output;output.open("Spline.txt");for (unsigned i = 0; i < size_xx; i++) {output << xx[i] << '\t' << yy[i] << std::endl;}output.close();cout << "Hello World !" << endl;
}
结果用matlab显示为:
四、小结
1、算法流程
- 计算步长
- 根据边界条件填充矩阵
- 解矩阵方程
- 由 得到样条插值函数的系数
2、难点
三次样条插值的整体推导,以及 H 矩阵的填充。
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