数值计算笔记之非线性方程的求解（一）二分法

二分法

若 $f(x) = 0$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)< 0$ ，则 $f(x) = 0$ 在 $[a,b]$ 上必有解。

二分法的步骤：

第一步：取边界 $[a,b]$ 上的中点 $x_{0} = \frac{a+b}{2}$ ，求 $f(x_{0})$ 。

如图， $x^{*}$ 是正确解， $x_{0}$ 是第一个中点。考虑 $f(x_{0})$ 存在以下情况：

$f(x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 即为方程的解。这种情况很极端，极少出现。
$f(x_{0})f(b) > 0$ ，那么 $f(x_{0})$ 、 $f(b)$ 同号，则令 $a_{1} = a$ ， $b_{1} = x_{0}$ 。（范围缩小一半）
$f(x_{0})f(a) > 0$ ，那么 $f(x_{0})$ 、 $f(a)$ 同号，则令 $a_{1} = x_{0}$ ， $b_{1} = b$ 。

第二步：用 $[a_{1},b_{1}]$ 取代 $[a,b]$ ，重复步骤一，直到 $|x_{n} - x^{*}| \leq \varepsilon$ 为止。 $x_{n}$ 作为 $f(x_{0}) = 0$ 的数值解（ $x_{n}$ 是n次迭代后的近似解， $x^{*}$ 是准确解， $\varepsilon$ 是误差限）。

这时我们发现 $|x_{n} - x^{*}| \leq \varepsilon$ 中的 $\varepsilon$ 我们还是不怎么了解，仅仅知道它是个误差。而实际上是可以对它有一个预估的。

误差 $\varepsilon$ 的预估

从图中我们可以得到： $|x_{0}-x^{*}| \leq \frac{b-a}{2}$

$|x_{1}-x^{*}| \leq \frac{b-a}{2^{2}}$

$\cdots \cdots$

$|x_{n}-x^{*}| \leq \frac{b-a}{2^{n+1}}$

那么就可以得到 $|x_{n}-x^{*}| \leq \frac{b-a}{2^{n+1}} \leq \varepsilon$

自然的，就很清楚二分法的优点：给定误差限 $\varepsilon$ ，可估计迭代次数。

代码实现

1、matlab代码

%二分法
function root = dichotomyRoot()
clear;
clc;
f=@(x) sin(x)+x+1;        %求给定的函数，可修改，也可以将其单独作为一个调用函数
U=input('输入求根区域上限upper,U=');
L=input('输入求根区域下限lower,L=');
e=input('输入误差限,e=');
while U-L > e             %设定一个求根区域精度，然后进行判断root = (U+L)/2;       %当根的区间大于所给精度时，利用二分法重新规划求根区间if f(root)==0    break;            %r恰好为所求根，直接跳出循环endif f(root)*f(U)> 0    %用零点存在定理判断根所在的区域U = root;elseL = root;end
end
root    %直接输出所求根的值end

在matlab的命令行窗口输入 dichotomyRoot() ，其结果为：

2、C++实现

#include <iostream>
using namespace std;double fun(double x);int main()
{double L, U, e, result;cout << "请输入求根区域下限lower,L=";cin >> L;cout << "请输入求根区域上限upper,U=";cin >> U;cout << "请输入误差限error,e=";cin >> e;while (abs(U - L) > e) {double root = (U + L) / 2.0;//double y = fun(root);if (fun(root) == 0)break;if (fun(root) * fun(U) > 0)U = root;elseL = root;result = root;}cout << "方程的根为" << result << endl;
}double fun(double x) {double y = sin(x) + x + 1;return y;
}

其结果与matlab一致，为