HDU-1848--博弈SG函数模板题

这篇文章写的很好，值得转发。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。

例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1...

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

上述是自jumping_frog博文的建立SG模板时的解释。

HDU 1848，有了上述方法，就简单了。首先建立f数组，就是Fibonacci数列。然后预处理求1000以内的SG数组，通过模板：

// 获得SG数组函数模板，t代表f数组的个数，n代表要求的sg数组上限
// f数组就是能取的个数（对于此题就是Fibonacci数列
// 有时，对于t已知就不需要单独传参
void get_sg(int t,int n)
{int i,j;memset(sg,0,sizeof(sg));for(i=1;i<=n;i++){memset(mex,0,sizeof(mex));// 对于属于g(x)后继的数置1for( j=1 ;j<=t && fib[j]<=i ;j++ )mex[sg[i-fib[j]]]=1;// 找到最小不属于该集合的数for( j=0 ; j<=n ; j++ )if(!mex[j])break;sg[i] = j;}
}

SG的题，很多都可以看成是多个Nim博弈。然后就可以分析奇异态，非奇异态来确定答案了。
然后就是此题完整代码：

下面这是我的AC代码（不是原作者的）：

/************************************************
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┆　　┃　 AC代马 　　┣┓┆
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************************************************ */
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int fib[50], SG[1005], mex[1005];
int getSG(int n){int i, j;SG[0] = 0;for(i = 1; i <= n; ++i){memset(mex, 0, sizeof mex);for(j = 1; fib[j] <= i; ++j){mex[SG[i-fib[j]]] = 1;}for(j = 0; ; ++j){if(!mex[j]) break;}SG[i] = j;}return SG[n];
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);int n, m, p, i, j, mx;fib[1] = 1; fib[2] = 2;for(i = 2; fib[i] < 1000; ++i){fib[i+1] = fib[i] + fib[i-1];}while(cin >> n >> m >> p){if(n == 0 && m == 0 && p == 0) break;if(getSG(n)^getSG(m)^getSG(p)) cout << "Fibo" << endl;else cout << "Nacci" << endl;}return 0;
}

原文: http://www.2cto.com/kf/201405/297489.html

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