蓝桥杯历届试题格子刷油漆

问题描述

　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。

　你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
　c e f d a b 是另一种合适的方案。
　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入格式

　输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出格式

　输出数据为一个正整数。

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359635897

思路：动态规划

1. 定义数组

设 a[i]，b[i] 两个数组。a数组表示长度为 i 的格子，从某一点出发，到达任意终点的方案数目。b数组表示长度为 i 的格子，从某一点出发，最终回到同一列的方案数目。

2. 状态转移方程

当出发点是四个顶点之一时

b[i] = b[i-1] * 2

首先考虑回到同一列的情况，即数组b的状态转移。假如从左上角（格子1）出发，为了回到下方同一列的格子（格子2），只有向右和右下两个格子前进。而为了保证最终能够回到格子2，在后续的每一列行进最终都需要回到同一列的格子。例如从格子1走到格子3，为了回到格子2，必须使得从格子3开始往后的行进最终能够回到格子4。故而我们可以定义这样一个数组b，使得每个元素都在寻找能够回到同一列的行进方案数目。而由上述可知，从格子1出发有向右和右下两个可能，因此b[i] = b[i-1] * 2。

a[i] = a[i-1]*2 + b[i] + 4*a[i-2]

a数组分为两部分，一部分是终点不会和起点同一列，另一部分是b[i]。因此方程中 +b[i] 很直观。

首先看 a[i-1]*2 部分。由于不想回到同一列，假设还是从左上角出发，则可以先向下走，先把第一列占满，那么就剩下 i-1 列了。乘2是因为从格子2到下一列可以走格子3也可以走格子4。

再看 4*a[i-2] 部分。除了直接向下走占满第一列，也可以先到第二列的任意一个格子，再回到第一列，然后再回到第二列，有两种走法1-3-2-4, 1-4-2-3。这样后续再不会回到格子2。到达第二列后从第二列到第三列又有两种走法。综上需要乘4。

当出发点在中间时

若从中间出发，则有先向右走和先向左走两种可能。若先向左走，则左面的走法满足数组b，因为需要回到同一列。右面的走法满足数组a，终点任意。若先向右走，则右面的走法满足数组b，左面的走法满足数组a。

而在第 i 列有上下两个起始点，故需要乘2。且走完数组b的一半回到起始点的同一列后，到下一列开启数组a时有两种前进方向。因此需要乘4。

因此加入起点在第 i 列，则有 b[i]*a[n-i]*4 + b[n-i+1]*a[i-1]*4。

n=int(input())
mod=1000000007
a=[0 for i in range(n+1)]
b=[0 for i in range (n+1)]
a[1]=1
a[2]=6
b[1]=1
b[2]=2
for i in range(3,n+1):    # 从四个顶点开始b[i]=b[i-1]*2a[i]=a[i-1]*2+b[i]+4*a[i-2]
ans=a[n]*4%mod
for i in range(2,n):    # 起始点在中间ans=(ans+b[i]*a[n-i]*4)%modans=(ans+b[n-i+1]*a[i-1]*4)%mod
print(ans%mod)