历届试题 格子刷油漆
- 历届试题 格子刷油漆
你可以从任意一个格子刷起,刷完一格,可以移动到和它相邻的格子(对角相邻也算数),但不能移动到较远的格子(因为油漆未干不能踩!)
比如:a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
c e f d a b 是另一种合适的方案。
当已知 N 时,求总的方案数。当N较大时,结果会迅速增大,请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。
1构造数组a[x]、b[x]。a[x]表示在2 * x的格子条件下,从四个角任意一个角的格子出发,遍历全体格子的方法总数,b[x]表示在2 * x的条件下,从四个角任意一个角的格子出发,遍历全体格子后回到与之相对的格子中的方法总数。
显然,a[1]=1,b[1]=1。
递推式:
a[x]=
b[x]=b[x-1] * 2
推导如下:
- 先考虑出发点在角上,从一个角出发,只有3种可能性。
(1)先去同一列相邻的格子,然后前往下一列,这就简化成从2 * (x-1)的格子中,从一个角出发,遍历全体格子的 问题。因为前往下一列有两种选法,所以有2 * a[x-1]种方法。
(2)先去相邻列的同一行的格子。又分为:
先去左下角,再去右边部分, a[x-2] * 2种方法
先遍历右边的所有,再回来左下角,b[x-1]种方法
(3)先去右下角的格子,又分为:
先去左边格子,再遍历右边,a[x-2] * 2种方法
先遍历右边,再去左边,b[x-1]种方法
a[x]=a[x-1] * 2+a[x-2] * 4+b[x-1] * 2
b[x]=2 * b[x-1]
而从中间某列的一点(2种选择)出发时,显然 不能直接往下走,否则无法遍历所有的点,应当先遍历左边(右边)左右的点,然后回到相对的点,再遍历右边(左边)的点。假设从第i列出发,出发的点有两种选择,第二步也有两种选择,因此所有的走法有2 * (b[i-1] * 2 * 2 * a[n-i]+ 2 * b[n-i] * 2 * a[i-1])种。加法的前一半时先遍历左边,后一半是先遍历右边。
于是,总数就是4 * a[x]+Σ(2到n-1)2 * (b[i-1] * 2 * 2 * a[n-i]+ 2 * b[n-i] * 2 * a[i-1])
代码方面注意对取余的处理就行了
1 #include<bits/stdc++.h> 2 3 using namespace std; 4 5 int main() 6 { 7 int x; 8 cin >> x; 9 long long int a[x+1]; 10 long long int b[x+1]; 11 a[1]=1; 12 b[1]=1; 13 a[2]=6; 14 long long int def=1000000007; 15 for(int i=2;i<=x;i++){ 16 b[i]=(b[i-1]*2); 17 b[i]%=def; 18 } 19 for(int i=3;i<=x;i++){ 20 a[i]=(a[i-1]*2+a[i-2]*4+b[i-1]*2); 21 a[i]%=def; 22 } 23 long long int sum=0; 24 sum=4*a[x]; 25 for(int i=2;i<=x-1;i++){ 26 sum+=2*(b[i-1]*2*2*a[x-i]%def+2*b[x-i]*2*a[i-1]%def); 27 sum%=def; 28 } 29 if(x==1) sum=2; 30 cout <<sum; 31 return 0; 32 }
转载于:https://www.cnblogs.com/henuliulei/p/10494755.html
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