如何理解泰勒展开式，他有何用途？

一、泰勒展开思想的由来（也就是学习的时候老师讲的背景）

例如 sinx，conx，e^x函数，当x=2.3时，这个值等于多少，这些数据通常需要借助计算器才可以计算出来，而且只是得到一个近似值。因此数学家们就开始了漫长的思考之路，有没有办法跟这些表达式的图像长得差不多的一个多项式函数呢？，说白了就是sinx，conx这类函数能不能用多项式去表达呢？

这就是泰勒展开式的出发点！！

那泰勒展开式为什么可以表示一个函数的表达式呢？？？？？？？？看下面例子

例如有两个人在跑步，以下是第一个人的跑步路程（s）和时间（t）的曲线图

那么，如果第二个人的图像想要跟第一个人一样，那么第二个人的起点要一样，速度要一样，速度的变化率也就是加速度要一样，加速度的变化率也要一样，加速度的加速度的变化率还要一样，速度的变化率（加速度）是一阶导数，加速度的变化率是二阶导数，加速度的加速度的变化率是三阶导数....... ,一直到n阶导数，

那么翻译成数学语言，也就是两条曲线想要一样，那么在某一点的一阶导数，二阶导数，三阶导数，四阶导数....n阶导数也相同，就说这两条曲线是相同的。也就是泰勒展开式的核心思想

恰好 sinx，cosx，e^x这些函数可以无限求导，就符合泰勒展开式的方法绘图了

二、泰勒展开的推导过程（这个一般是在特定值 0 下推导，称之为迈克劳林公式）（字有点丑，不过我已经尽力了，将就着看哈）

上面就是x=0这个点的泰勒展开式，那么如果我不取x=0，想去任何的数值，例如x=a呢，那么以上的表达式会变成什么样子呢，其实也很简单，就是x从0变成a，也就是把图片做了一个平移（x-a）

三、泰勒展开式的用途

这个是大家比较关心的，这么难的公式，我学来干嘛！！！！！！

拿个目前最热门的人工智能来说，图像识别，特别是人脸识别。人脸识别其实说白了就是把人脸图像中的关键点、轮廓等等识别出来。

举个具体例子：

opencv的Harris角点检测的实现。

1、Harris角点检测原理：

人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向上移动这个特征的小窗口，窗口内区域的灰度发生了较大的变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时，窗口内图像的灰度没有发生变化，那么窗口内就不存在角点；如果窗口在某一个方向移动时，窗口内图像的灰度发生了较大的变化，而在另一些方向上没有发生变化，那么，窗口内的图像可能就是一条直线的线段。如下图：

首先，将图像窗口平移[u,v]产生灰度变化的自相关函数如下：

求解出上面的表达式就可以知道当前窗口内是否遇到了角点。而求解这个函数就需要用到泰勒展开式。