©PaperWeekly 原创 · 作者｜苏剑林

单位｜追一科技

研究方向｜NLP、神经网络

刚看到一个有意思的结论：

对于任意实数 x 及偶数 n，总有 ，即 的偶次泰勒展开式总是正的。

下面我们来看一下这个结论的证明，以及它在寻找 softmax 替代品中的应用。

证明过程

看上去这是一个很强的结果，证明会不会很复杂？其实证明非常简单，记：

当 n 是偶数时，我们有 ，即整体是开口向上的，所以我们只需要证明它的最小值大于 0 就行了，又因为它是一个光滑连续的多项式函数，所以最小值点必然是某个极小值点。那么换个角度想，我们只需要证明它所有的极值点（不管是极大还是极小）所对应的函数值都大于 0。

求极值点的方法自然是求导，而 的一个美妙之处在于，它的导函数满足：

极值点满足 ，那也就是满足 ，此时有：

因此我们就证明了 的所有极值点对应的函数值都非负了，所以恒有 ，并且还可以检验 并不是极值点，所以 可以改为 >。证毕。

应用场景

事实上，笔者是在 Arxiv 的新文章 Exploring Alternatives to Softmax Function [1] 看到这个结论的。原论文给出了一个基于数学归纳法的比较复杂的证明，上述证明则是笔者自己构思的，相对来说更加简单明了一些。

那么原论文为什么要得到这个结论呢？顾名思义，是为了探究 softmax 的替代品。我们知道，在机器学习中常用的将输出变为概率分布的方法是加上 softmax：

而由于 n 是偶数是 ，并且 在一定范围内还是 的近似，所以将 换成 也可以作为合理的归一化函数：

原论文做了几个实验，表明 比常规的 softmax 有一定的提升：

▲ softmax与其泰勒展开近似的效果比较

稍加评述

然而，在笔者看来，这个实验结果很难有什么说服力，毕竟所用的 baseline 效果太低了（都 2020 年了，你好歹跑个 ResNet 吧？）。此外，原论文也没有提供关于这个替代品的一些直观理解，纯粹是做了简单的实验然后说它 work 了，实在是过于粗糙。

不过，尽管原论文有诸多不足之处，笔者认为其提出的 倒是真的有可能是有效的。从 softmax 到 的过程，实际上是将激活函数从指数函数换成了多项式函数，这两者有什么区别呢？

我们知道 |x| 比较大的时候， 会增加/衰减得很快，这直接导致了 softmax 经常给出的置信度过高的现象（概率值非 0 即 1），而相对来说，多项式函数的增长没有那么猛，不容易出现置信度过高问题，从而没那么容易过拟合。

类似的改动也出现在经典的降维方法 t-SNE 中，t-SNE 的前身是 SNE，SNE 就是构造了类似 softmax 的指数形式的概率分布，然后被发现有“Crowding 问题”（参考最小熵原理：“物以类聚”之从图书馆到词向量），最后 t-SNE 将指数换成二次函数就好很多了，感觉 跟 t-SNE 的思想有一定的相通之处。

文章小结

本文的主要目的是介绍“ 的偶次泰勒展开式总是正的”这个颇有意思的结论，并且顺带介绍了它在寻找 softmax 替代品中的应用。

参考文献

[1] https://arxiv.org/abs/2011.11538

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