像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、世界坐标系

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像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、世界坐标系
- 1、图像坐标系 → \rightarrow →像素坐标系
- 2、图像坐标系 → \rightarrow →相机坐标系
- 3、相机坐标系 → \rightarrow →世界坐标系
- 总结
- References

上周发现对这四个坐标系之间的转换没有一个清晰的概念，这个下午写第一篇博客重新学习记录一下。

图片来源：《视觉SLAM十四讲》第二版P91

1、图像坐标系 → \rightarrow →像素坐标系

像素坐标系通常的定义方式是：原点 o ′ o~' o ′位于图像的左上角， u u u轴向右与 x x x轴平行， v v v轴向下与 y y y轴平行。

图像坐标系在这里指的是成像平面坐标系，在《视觉SLAM十四讲》中像素坐标系和图像坐标系是一样的（第一版 P72）。

像素坐标系与图像坐标系之间相差了一个缩放和平移，由此图像坐标系 P ′ P~' P ′的坐标 [ X ′ , Y ′ ] [X~',Y~'] [X ′,Y ′]与像素坐标 [ u , v ] [u,v] [u,v]的关系为：
{ u = α X ′ + c x v = β Y ′ + c y \begin{cases} u=\alpha X'+c_x \\ v=\beta Y'+c_y \end{cases} {u=αX′+cxv=βY′+cy

2、图像坐标系 → \rightarrow →相机坐标系

由于三角形相似关系有（去掉负号）：
Z f = X X ′ = Y Y ′ {Z \over f} = {X \over {X'}} = {Y \over {Y'}} fZ=X′X=Y′Y
所以式(1)变为：
{ u = f x X Z + c x v = f y Y Z + c y \begin{cases} u=f_x {X \over Z}+c_x \\ v=f_y {Y \over Z}+c_y \end{cases} {u=fxZX+cxv=fyZY+cy
转换为矩阵形式为：
( u v 1 ) = 1 Z ( f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ) ( X Y Z ) ≜ 1 Z K P \left(\begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array}\right)={1 \over Z} \left(\begin{array}{ccc} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) \triangleq \boldsymbol{{1 \over Z}KP} ⎝ ⎛uv1⎠ ⎞=Z1⎝ ⎛fx000fy0cxcy1⎠ ⎞⎝ ⎛XYZ⎠ ⎞≜Z1KP

Z ( u v 1 ) = ( f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ) ( X Y Z ) ≜ K P Z\left(\begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) \triangleq \boldsymbol{KP} Z⎝ ⎛uv1⎠ ⎞=⎝ ⎛fx000fy0cxcy1⎠ ⎞⎝ ⎛XYZ⎠ ⎞≜KP

其中， K K K为内参数矩阵（Camera Intrinsics）。

3、相机坐标系 → \rightarrow →世界坐标系

在齐次坐标下，相机坐标和世界坐标的关系为
p c = T c w p w = T w c − 1 p w p_c=T_{cw}p_w=T_{wc}^{-1}p_w pc=Tcwpw=Twc−1pw
在非齐次坐标下，相机坐标和世界坐标的关系为
P c = R P w + t P_c=RP_w+t Pc=RPw+t
其中，相机的位姿 R ， t R，t R，t称为相机的外参数矩阵（Camera Extrinsics）。

所以式(4)转化为
Z P u v = Z [ u v 1 ] ≜ K P = K ( R P w + t ) = K T P w Z{P_{uv}} = Z\left[ {\begin{matrix} u \cr v \cr 1 \cr \end{matrix} } \right] \triangleq \boldsymbol{KP} = \boldsymbol{K(R{P_w} + t) = KT{P_w}} ZPuv=Z⎣ ⎡uv1⎦ ⎤≜KP=K(RPw+t)=KTPw
注意最后一个式子隐含了一次其次坐标到非齐次坐标的转换。

总结

最后简单归纳关系图如下：

单目相机的成像过程（P90）：

References

像素坐标系与图像坐标系_在路上DI蜗牛的博客-CSDN博客_图像坐标系

世界坐标系，相机坐标系，图像坐标系，像素坐标系的转换 - 知乎 (zhihu.com)