多类别分类——吴恩达课程作业python代码实现

多类别分类

一、模型建立
二、一对多分类方法(one-vs-all)
三、分类器实现
- 1，加载数据集（Dateset），可视化
- 2，向量化逻辑回归
- - 2.1向量化正则化的代价函数
  - 2.2向量化梯度
- 3，一对多分类器（one-vs-all）
- 4，One-vs-all Prediction

一、模型建立

对于二元分类的数据模型如下；

使用两种符号表示两个不同的数据集。
对于二元分类，上一篇博客已经给出分析：二元分类原理分析，及代码实现过程
运用逻辑回归，很好地实现了分类的功能。
对于一个多分类问题，以三元分类为例，建立数据模型如下，

使用三种符号，表示三种不同类别的数据集。

现在已经知道如何进行二元分类，可以使用逻辑回归，对于直线，同时可以将数据集一分为二为正类和负类。用一对多的分类思想，我们可以将其用在多类分类问题上。有时这个方法也被称为"一对余"(one-vs-rest)方法。

二、一对多分类方法(one-vs-all)

以三元分类为例，有一个训练集，好比上图表示的有3 个类别，我们用三角形表示 ? = 1，方框表示? = 2，叉叉表示 ? = 3。通过使用一个训练集，将其分成3 个二元分类问题。
　　先从用三角形代表的类别1 开始，实际上可以创建一个，新的"伪"训练集，类型2 和类型3 定为负类，类型1 设定为正类，创建一个新的训练集，如下图所示的那样，要拟合出一个合适的分类器。
　　
　　这里的三角形是正样本，而圆形代表负样本。可以这样想，设置三角形的值为1，圆形的值为0，下面来训练一个标准的逻辑回归分类器，这样我们就得到一个正边界。为了能实现这样的转变，我们将多个类中的一个类标记为正向类（? = 1），然后将其他所有类都标记为负向类，这个模型记作 h θ 1 ( x ) h_{\theta1}(x) hθ1(x);接着，类似地选择另一个类标记为正向类（? = 2），再将其它类都标记为负向类，将这个模型记作 h θ 2 ( x ) h_{\theta2}(x) hθ2(x);依此类推。
　　最后得到一系列的模型简记为：
　　

最后，在需要做预测时，将所有的分类机都运行一遍，然后对每一个输入变量，都选择最高可能性的输出变量。

三、分类器实现

以数字字迹识别为例，讨论多类别分类问题。

1，加载数据集（Dateset），可视化

首先，加载数据集。这里的数据为MATLAB的格式，所以要使用SciPy.io的loadmat函数。

def load_data(path):data = loadmat(path)X = data['X']y = data['y']return X,y

X, y = load_data('ex3data1.mat')
print(np.unique(y))  # 看下有几类标签
# [ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]
X.shape, y.shape
# ((5000, 400), (5000, 1))

控制台输出数据中的类别

其中有5000个训练样本，每个样本是20*20像素的数字的灰度图像。每个像素代表一个浮点数，表示该位置的灰度强度。20×20的像素网格被展开成一个400维的向量。在我们的数据矩阵X中，每一个样本都变成了一行，这给了我们一个5000×400矩阵X，每一行都是一个手写数字图像的训练样本。
由Y数组，查看得到数据集分为，[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]十个类别。
随机查看1个训练样本，查看100个训练样本。

def plot_an_image(X):"""随机打印一个数字"""pick_one = np.random.randint(0, 5000)image = X[pick_one, :]fig, ax = plt.subplots(figsize=(1, 1))ax.matshow(image.reshape((20, 20)), cmap='gray_r')plt.xticks([])  # 去除刻度，美观plt.yticks([])plt.show()print('this should be {}'.format(y[pick_one]))def plot_100_image(X):""" 随机画100个数字"""sample_idx = np.random.choice(np.arange(X.shape[0]), 100)  # 随机选100个样本sample_images = X[sample_idx, :]  # (100,400)fig, ax_array = plt.subplots(nrows=10, ncols=10, sharey=True, sharex=True, figsize=(8, 8))for row in range(10):for column in range(10):ax_array[row, column].matshow(sample_images[10 * row + column].reshape((20, 20)),cmap='gray_r')plt.xticks([])plt.yticks([])        plt.show()

2，向量化逻辑回归

使用多个one-vs-all(一对多)logistic回归模型来构建一个多类别分类器。由于有10个类，需要训练10个独立的分类器。为了提高训练效率，重要的是向量化。

2.1向量化正则化的代价函数

正则化的logistic回归的代价函数是：
J ( θ ) = − 1 m [ ∑ i = 1 m y ( i ) log ⁡ ( h θ ( x ( i ) ) − ( 1 − y ( i ) ) log ⁡ ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] + λ 2 m ∑ j = 1 n θ j 2 J(\theta)=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)})-(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)}))]+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 J(θ)=−m1[∑i=1my(i)log(hθ(x(i))−(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]+2mλ∑j=1nθj2
对于每个样本 i i i要计算， h θ ( x ( i ) ) h_\theta(x^{(i)}) hθ(x(i)), h θ ( x ( i ) ) = g ( θ T x ( i ) ) h_\theta(x^{(i)})=g(\theta^Tx^{(i)}) hθ(x(i))=g(θTx(i)), g ( z ) g(z) g(z)是sigmoid函数
事实上我们可以对所有的样本用矩阵乘法来快速的计算。
定义X，与 θ \theta θ

通过计算X θ \theta θ

在最后一个等式中，我们用到了一个定理，如果 a a a和 b b b都是向量，那么 a T b = b T a a^Tb=b^Ta aTb=bTa 这样我们就可以用一行代码计算出所有的样本。

def sigmoid(z):return 1 / (1 + np.exp(-z))

def regularized_cost(theta, X, y, l):"""don't penalize theta_0args:X: feature matrix, (m, n+1) # 插入了x0=1y: target vector, (m, )l: lambda constant for regularization"""thetaReg = theta[1:]first = (-y*np.log(sigmoid(X@theta))) + (y-1)*np.log(1-sigmoid(X@theta))reg = (thetaReg@thetaReg)*l / (2*len(X))return np.mean(first) + reg

2.2向量化梯度

未正则化逻辑回归代价函数的梯度为：
∂ ∂ / θ j J ( θ ) = − 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) \frac{\partial }{\partial /\theta_j}J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} ∂/θj∂J(θ)=−m1∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)
使用向量化的方法表示

其中，
注意， h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)} hθ(x(i))−y(i)是一个标量，令 β i = h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) \beta_i=h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)} βi=hθ(x(i))−y(i)
得到：

正则化后的梯度下降算法表示如下，不惩罚 θ 0 \theta_0 θ0

代码实现

def regularized_gradient(theta, X, y, l):"""don't penalize theta_0args:l: lambda constantreturn:a vector of gradient"""thetaReg = theta[1:]first = (1 / len(X)) * X.T @ (sigmoid(X @ theta) - y)# 这里人为插入一维0，使得对theta_0不惩罚，方便计算reg = np.concatenate([np.array([0]), (l / len(X)) * thetaReg])return first + reg

3，一对多分类器（one-vs-all）

这部分通过训练多个正则化logistic回归分类器实现一对多分类，每个分类器对应数据集中K类中的一个。
对于这个任务，我们有10个可能的类，并且由于logistic回归只能一次在2个类之间进行分类，每个分类器在“类别 i”和“不是 i”之间决定。我们将把分类器训练包含在一个函数中，该函数计算10个分类器中的每个分类器的最终权重，并将权重返回shape为(k, (n+1))数组，其中 n 是参数数量。

from scipy.optimize import minimizedef one_vs_all(X, y, l, K):"""generalized logistic regressionargs:X: feature matrix, (m, n+1) # with incercept x0=1y: target vector, (m, )l: lambda constant for regularizationK: numbel of labelsreturn: trained parameters"""all_theta = np.zeros((K, X.shape[1]))  # (10, 401)for i in range(1, K+1):theta = np.zeros(X.shape[1])y_i = np.array([1 if label == i else 0 for label in y])ret = minimize(fun=regularized_cost, x0=theta, args=(X, y_i, l), method='TNC',jac=regularized_gradient, options={'disp': True})all_theta[i-1,:] = ret.xreturn all_theta

这里需要注意的几点：首先，我们为X添加了一列常数项 1 ，以计算截距项（常数项）。其次，我们将y从类标签转换为每个分类器的二进制值（要么是类i，要么不是类i）。最后，我们使用SciPy的较新优化API来最小化每个分类器的代价函数。如果指定的话，API将采用目标函数，初始参数集，优化方法和jacobian（渐变）函数。然后将优化程序找到的参数分配给参数数组。

4，One-vs-all Prediction

在训练多类别分类器之后，现在可以用它来预测给定图像中包含的数字。对于每个输入，您应该使用以下方法计算它属于每个类的“概率” 训练的Logistic回归分类器。One-vs-all预测函数将选择相应的逻辑回归分类器输出概率最高的类和ret。将类标签(1、2、…或K)作为输入示例的预测。
实现向量化代码的一个更具挑战性的部分是正确地写入所有的矩阵，保证维度正确。

def predict_all(X, all_theta):# compute the class probability for each class on each training instance   h = sigmoid(X @ all_theta.T)  # 注意的这里的all_theta需要转置# create array of the index with the maximum probability# Returns the indices of the maximum values along an axis.h_argmax = np.argmax(h, axis=1)# because our array was zero-indexed we need to add one for the true label predictionh_argmax = h_argmax + 1return h_argmax

这里的h共5000行，10列，每行代表一个样本，每列是预测对应数字的概率。我们取概率最大对应的index加1就是我们分类器最终预测出来的类别。返回的h_argmax是一个array，包含5000个样本对应的预测值。

raw_X, raw_y = load_data('ex3data1.mat')
X = np.insert(raw_X, 0, 1, axis=1) # (5000, 401)
y = raw_y.flatten()  # 这里消除了一个维度，方便后面的计算 or .reshape(-1) （5000，）all_theta = one_vs_all(X, y, 1, 10)
all_theta  # 每一行是一个分类器的一组参数
y_pred = predict_all(X, all_theta)
accuracy = np.mean(y_pred == y)
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy * 100))

通过预测的y值与实际y值进行比对，得出结果在这次练习中的多类别分类器的准确率是0.9446。