利用Sympy计算sin1°的最小多项式

　　首先我们有 cos36∘=5√+14 \cos36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4},可以利用顶角为 36∘ 36^{\circ} 的等腰三角形求出，它满足方程 4x2−2x−1=0 4x^{2}-2x-1=0.
　　利用二倍角公式 cos2x=2cos2x−1 \cos2x=2\cos^{2}x-1 迭代两次，求出 cos9∘ \cos9^{\circ} 满足的多项式，可以发现它是一个关于 cos29∘ \cos^{2}9^{\circ} 的多项式，因此我们可以求出 sin29∘ \sin^{2}9^{\circ} 满足的多项式。
　　接着，我们利用三倍角公式 sin3x=3sinx−4sin3x \sin3x=3sinx-4\sin^{3}x 迭代两次即可求出 sin1∘ \sin1^{\circ} 满足的多项式，在此基础上因此分解，并代入求值即可得到 sin1∘ \sin1^{\circ} 的最小多项式。
　　上Python代码~~

from sympy import *
import math
init_printing()
x = symbols('x')
t1=4*x**2-2*x-1
t2=t1.subs({x:2*x**2-1})
t3=t2.subs({x:2*x**2-1})
t4=t3.subs({x**2:(1-x**2)})
t5=t4.subs({x:3*x-4*x**3})
t6=t5.subs({x:3*x-4*x**3})
factor(t6)

　　t6即为 sin1∘ \sin1^{\circ} 满足的多项式，因式分解的结果如下：
　　
　　我们只要依次将 sin1∘ \sin1^{\circ} 代入以上三个多项式中验证即可。
　　
　　
　　只需验证 sin1∘ \sin1^{\circ} 满足上述的48次多项式即可。

s=factor(t6)/(256*x**8-512*x**6+304*x**4-48*x**2+1)
r=s/(65536*x**16-262144*x**14+430080*x**12-372736*x**10+182784*x**8-50176*x**6+7040*x**4-384*x**2+1)
r.subs({x:math.sin(math.pi/180)})

运行结果如下：

　　因此， sin1∘ \sin1^{\circ} 的最小多项式次数为48.

　　如有不足之处，还望批评指正。期待下一次分享~~

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