总结就是绕谁对称谁不变(绕轴面对称的),轮换约束不变（轮换对称性的）

空间中位置对称的点

F（x,y）=0， F（x,y,z）=0所表示的曲线，曲面

f（x,y）， f（x,y,z）所表示的“密度函数”

积分区域的对称性：x2+y2−4=0有(x,y)必有(−x,−y),(−x,y),(x,−y)积分区域的对称性：x^2+y^2-4=0有(x,y)必有(-x,-y),(-x,y),(x,-y) 积分区域的对称性：x2+y2−4=0有(x,y)必有(−x,−y),(−x,y),(x,−y)

F（x,y,z）=0所表示的曲面

面积分，三重积分积分区域的对称性

关于原点对称F（x,y,z）=F(-x,-y,-z)或F（x,y,z）=-F(-x,-y,-z)

关于X轴 F(x,y,z)=F(x,-y,-z)或F（x,y,z）=-F(x,-y,-z)

关于XOY F(x,y,z)=F(x,y,-z)或（x,y,z）=-F(x,y,-z)

f(x,y,z)=f(x,-y,z) (x,y,z)与(x,-y,z) 关于XOZ对称

积分区间的对称

x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0

x+y2+z2=0x+y^2+z^2=0x+y2+z2=0

y+z=0y+z=0y+z=0

z2=1z^2=1z2=1

z=0z=0 z=0

轮换对称性（轮换约束不变）

积分区域：F(x,y,z)=0中的变量轮换不改变表达式(二重积分轮换对称性不需要考虑被积函数是否对称):如x+y+z=0,x2+y2+z2−1=0对于二重积分：积分区域关于y=x对称(直观)，或D的约束轮换x，y不变积分区域：F(x,y,z)=0中的变量轮换不改变表达式(二重积分轮换对称性不需要考虑被积函数是否对称):\\ 如x+y+z=0,x^2 + y^2 +z^2-1=0\\ 对于二重积分：积分区域关于y=x对称(直观)，或D的约束轮换x，y不变积分区域：F(x,y,z)=0中的变量轮换不改变表达式(二重积分轮换对称性不需要考虑被积函数是否对称):如x+y+z=0,x2+y2+z2−1=0对于二重积分：积分区域关于y=x对称(直观)，或D的约束轮换x，y不变
若积分区间具有轮换对称性
∬∑f(x,y,z)dS=∬∑f(y,z,x)dS=∬∑f(z,x,y)dS∬∑f(x)dS=∬∑f(y)dS=∬∑f(z)dS（特殊情况）∬∑f(x,y,z)dS=13∬∑f(z,x,y)+f(y,z,x)+f(z,x,y)dS(二重积分就是12,注意应用是不同的，线面积分可代，重积分不可代，二重积分的应用见例题)\iint_{∑} f(x,y,z)dS=\iint_{∑} f(y,z,x)dS=\iint_{∑} f(z,x,y)dS\\ \iint_{∑} f(x)dS=\iint_{∑} f(y)dS=\iint_{∑} f(z)dS（特殊情况）\\ \iint_{∑} f(x,y,z)dS=\frac{1}{3}\iint_{∑} f(z,x,y)+f(y,z,x)+f(z,x,y)dS(二重积分就是\frac{1}{2},注意应用是不同的\\，线面积分可代，重积分不可代，二重积分的应用见例题)\\ ∬∑f(x,y,z)dS=∬∑f(y,z,x)dS=∬∑f(z,x,y)dS∬∑f(x)dS=∬∑f(y)dS=∬∑f(z)dS（特殊情况）∬∑f(x,y,z)dS=31∬∑f(z,x,y)+f(y,z,x)+f(z,x,y)dS(二重积分就是21,注意应用是不同的，线面积分可代，重积分不可代，二重积分的应用见例题)
对于第二类曲面积分要求轮换的顺序为x->y->z->x:
条件：投影的二重积分的区域相同，定向的符号相同条件：投影的二重积分的区域相同，定向的符号相同条件：投影的二重积分的区域相同，定向的符号相同
∬∑f(x,y,z)dydz=∬∑f(y,z,x)dzdx=∬∑f(z,x,y)dxdy∬∑f(x,y,z)dydz=13∬∑f(z,x,y)dydz+f(y,z,x)dzdx+f(z,x,y)dxdy\iint_{∑} f(x,y,z)dydz=\iint_{∑} f(y,z,x)dzdx=\iint_{∑} f(z,x,y)dxdy\\ \iint_{∑} f(x,y,z)dydz=\frac{1}{3}\iint_{∑} f(z,x,y)dydz+f(y,z,x)dzdx+f(z,x,y)dxdy ∬∑f(x,y,z)dydz=∬∑f(y,z,x)dzdx=∬∑f(z,x,y)dxdy∬∑f(x,y,z)dydz=31∬∑f(z,x,y)dydz+f(y,z,x)dzdx+f(z,x,y)dxdy
注：轮换对称性如果考虑函数的对称性，其实也是“绕轴”对称性,(以二重积分为例)
∬Df(x,y)dxdy={0f(x,y)=-f(y,x)2∬D1f(x,y)dxdy=2∬D1f(y,x)dxdyf(x,y)=f(y,x)\iint_{D} f(x,y)dxdy=\begin{cases} 0& \text{f(x,y)=-f(y,x)}\\ 2 \iint_{D_1} f(x,y)dxdy=2 \iint_{D_1} f(y,x)dxdy & \text{f(x,y)=f(y,x)} \end{cases} ∬Df(x,y)dxdy={02∬D1f(x,y)dxdy=2∬D1f(y,x)dxdyf(x,y)=-f(y,x)f(x,y)=f(y,x)

例：

设曲面∑是z=4−x2−y2的上侧，求∬∑xydydz+xdzdx+x2dxdy设曲面 ∑是z=\sqrt{4-x^2-y^2}的上侧，求\iint_{∑} xydydz+xdzdx+x^2dxdy设曲面∑是z=4−x2−y2的上侧，求∬∑xydydz+xdzdx+x2dxdy

令：∑1是x=4−y2−z2取前侧,∑2是x=−4−y2−z2取后侧∬∑xydydz=2∬∑1xydydz区域关于YOZ对称，是x的奇函数，由第二类曲面积分的对称性=2∬∑1xydydz=2∬∑14−x2−y2ydydz第二类曲面积分化为二重积分，一般地，都是这个形式第二类曲面积分的计算，一般地，因没学二重积分换元法，都是这个形式,参数形式f(x,y,z(x,y))dxdy=0二重积分的对称性∬∑xdzdx=0∬∑x2dxdy=∬x2+y2≤4x2dxdy==12∬x2+y2≤4x2+y2dxdy二重积分轮换对称性=12∫02πdθ∫02r3dr=4π令：∑_{1}是x=\sqrt{4-y^2-z^2}取前侧,∑_{2}是x=-\sqrt{4-y^2-z^2}取后侧\\ \iint_{∑} xydydz =2\iint_{∑_1} xydydz { \color{blue} 区域关于YOZ对称，是x的奇函数，由第二类曲面积分的对称性}\\ =2\iint_{∑_1} xydydz =2\iint_{∑_1} \sqrt{4-x^2-y^2}ydydz { \color{blue} 第二类曲面积分化为二重积分，一般地，都是这个形式}\\ { \color{blue} 第二类曲面积分的计算，一般地，因没学二重积分换元法，都是这个形式,参数形式f(x,y,z(x,y))dxdy}\\ =0 { \color{blue} 二重积分的对称性}\\ \iint_{∑} xdzdx=0\\ \iint_{∑} x^2dxdy= \iint_{x^2+y^2\leq 4 } x^2dxdy= = \frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\leq 4 } x^2+y^2dxdy{ \color{blue} 二重积分轮换对称性}\\ =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}dθ\int_{0}^{2}r^3dr=4\pi\\ 令：1∑是x=4−y2−z2取前侧,2∑是x=−4−y2−z2取后侧∬∑xydydz=2∬∑1xydydz区域关于YOZ对称，是x的奇函数，由第二类曲面积分的对称性=2∬∑1xydydz=2∬∑14−x2−y2ydydz第二类曲面积分化为二重积分，一般地，都是这个形式第二类曲面积分的计算，一般地，因没学二重积分换元法，都是这个形式,参数形式f(x,y,z(x,y))dxdy=0二重积分的对称性∬∑xdzdx=0∬∑x2dxdy=∬x2+y2≤4x2dxdy==21∬x2+y2≤4x2+y2dxdy二重积分轮换对称性=21∫02πdθ∫02r3dr=4π

其他方面的连接：旋转体方程与体积的计算

点或积分区域的对称性，积分结果的对称性相关推荐

多元函数积分学中的利用轮换对称性积分
当多个变元具有轮换对称性并且第一类曲线(面)积分计算量较大时,考虑利用轮换对称性解题 (1)∮Lx2ds\oint_L x^2ds∮Lx2ds,其中LLL为圆周 {x2+y2+z2=a2,x+y+z ...
第一类曲线积分的轮换对称性
高数 | 【重积分】线面积分880例题
拓展: 1.简单闭曲线 2.平移重积分与形心公式加速解题 3.两个定积分相乘(见提高第一个) 一.880基础题线面积分判断奇偶性:(个人用) 1.首先判断积分区域是否关于某轴/某平面是对称 2. ...
曲面积分的投影法_曲线曲面积分与重积分知识点汇总
本文源自扬哥去年生日发的推送, 主要梳理曲线曲面积分与重积分的各种计算方法以及对应的一些联系, 题目多数来自每日一题与裴礼文, 还有部分为华师大课本例题. 计算题中, 对称性要放在战略的高度. 其次, ...
一般对称性和轮换对称性
一般对称性一元函数的对称性几何意义是所围图形的面积绝对值 [注]使用对称性的时候,首先抓积分区域关于哪个轴对称,其次抓被积函数是为另一轴的奇(偶函数). 二元函数的对称性(奇偶性) [注]在一般对 ...
高等数学笔记-乐经良老师-第九章-重积分
高等数学笔记-乐经良老师第九章重积分第一节二重积分的概念和性质一.典型例子 01 平面薄板的质量平面薄板位于 x y xy xy 平面区域 D D D,其面密度为 μ ( x , y ) ...
高等数学笔记-苏德矿-第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分
高等数学笔记-苏德矿第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分第一节二重积分的概念和性质一.二重积分的典例 01 平面薄板的质量平面薄片一点的面密度的定义: 设有一个平面薄片位于 xOyxOyxOy 平 ...
曲线积分（Line Integral）
1.曲线积分 1.1 曲线积分的意义曲线积分可用于求物体沿路径运动时所做的功,以及求密度变化的导线的质量曲线积分不再是以往在某个区间内进行积分,而是在特定曲线上进行积分,即积分区域变为了一条曲线 ...
麦克斯韦方程的积分形式及应用、麦克斯韦方程组的微分形式及应用
1.麦克斯韦方程组的积分形式 2.麦克斯韦方程组的积分形式的应用注意:利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称性的场. 如:中心对称性场,轴对称性场,平面对称性场.在这里插入图片描述 2.11 ...

点或积分区域的对称性，积分结果的对称性