高等数学 · 第三章导数和微分

第一节导数的概念
- 一、引例
- - 例一、切线问题(即几何意义)
  - 例二、瞬时变化速度问题
- 二、导数的定义
- - 例题
- 三、导数的几何意义和物理意义
- 四、可导与连续的关系
第二节导数的运算
- 一、基本初等函数的求导公式
- 二、导数的四则运算法则
- - 定理3.3 (加、减求导法则)
  - 定理3.4 (乘法求导法则)
  - 定理 3.5 (商的求导法则)
  - 例题
- 三、反函数的求导法则
- - 定理3.6 (反函数求导法则)
- 四、复合函数的求导法则
- - 定理3.7 (复合函数求导法则)
  - 例题
第三节高阶导数
- 一、高阶导数的定义
- - 定义
  - 例题
第四节微分及其运算
- 一、微分的定义
- 二、函数的导数与微分的关系
- - 定理 3.9 （可微与可导的关系）
  - 定理 3.10 （可微与连续的关系）
  - 例题
- 三、微分的几何意义
- 四、基本微分公式与微分运算法则
- - 基本公式
  - 定理 3.11 （微分运算法则）
  - 定理 3.12 （微分形式的不变性）
- 五、微分的应用
- - 例题

第一节导数的概念

一、引例

例一、切线问题(即几何意义)

tan⁡φ=ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx\tan\varphi = \cfrac {\Delta y} {\Delta x} = \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}tanφ=ΔxΔy=Δxf(x0+Δx)−f(x0)
k=tan⁡α=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxk = \tan\alpha = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}k=tanα=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)

例二、瞬时变化速度问题

变速直线运动的瞬时速度问题。
速度=路程时间速度 = \cfrac {路程} {时间}速度=时间路程
[t0,t0+Δt]的平均速度：s(t0+Δ)−s(t0)Δt[t_0, t_0 + \Delta t] 的平均速度：\cfrac {s(t_0 + \Delta) - s(t_0)} {\Delta t}[t0,t0+Δt]的平均速度：Δts(t0+Δ)−s(t0)
t0时刻的瞬时速度：v(t0)=lim⁡Δt→0s(t0+Δt)−s(t0)Δtt_0 时刻的瞬时速度：v(t_0) = \lim \limits_{\Delta t \to 0} \cfrac {s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)} {\Delta t}t0时刻的瞬时速度：v(t0)=Δt→0limΔts(t0+Δt)−s(t0)

*以上两个例子，大家均在数学和物理中接触过，不作详细介绍。

二、导数的定义

设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某领域内有定义，且自变量 xxx 在 x0x_0x0 处取得增量 Δx\Delta xΔx 时，函数相对应的增量为：Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0). 若当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0 时，极限 lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {\Delta y} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0) 存在，则称函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可导，并称此极限为函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处的导数，记为
f′(x0),y′∣x=x0,dydx∣x=x0或df(x)dx∣x=x0f'(x_0), y'|_{x = x_0}, \frac {dy} {dx}|_{x = x_0} 或 \frac {df(x)} {dx} |_{x = x_0}f′(x0),y′∣x=x0,dxdy∣x=x0或dxdf(x)∣x=x0
即f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx即 f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {\Delta y} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}即f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)

左右导数表示为：
f−′(x0)=lim⁡Δx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx,f+′(x0)=lim⁡Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'_-(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}, f'_+(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}f−′(x0)=Δx→0−limΔxf(x0+Δx)−f(x0),f+′(x0)=Δx→0+limΔxf(x0+Δx)−f(x0)

定理3.1 函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处可导的充分必要条件是 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处的左、右导数存在且相等。

例题

求 f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2, 求 f′(0)f'(0)f′(0).
解：f′(0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(0+Δx)−f(0)Δx=lim⁡Δx→0(Δx)2−02Δx=lim⁡Δx→0Δx=0f'(0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {\Delta y} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(0 + \Delta x) -f(0)} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^2 - 0^2} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0f′(0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(0+Δx)−f(0)=Δx→0limΔx(Δx)2−02=Δx→0limΔx=0

三、导数的几何意义和物理意义

几何意义：切线的斜率 k=f′(x0)k = f'(x_0)k=f′(x0)
切线方程：y=f(x0)=f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)y=f(x0)=f′(x0)(x−x0)
法线方程：y−f(x0)=−1f′(x0)(x−x0),(f′(x0)≠0)y - f(x_0) = - \cfrac 1 {f'(x_0)}(x - x_0), (f'(x_0) \neq 0)y−f(x0)=−f′(x0)1(x−x0),(f′(x0)=0)
物理意义：瞬时速度

四、可导与连续的关系

定理 3.2 若函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处可导，则 f(x)f(x)f(x) 必在点 x0x_0x0 处连续。
注意：该定理的逆命题不成立，即若 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处连续，则不能保证 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处可导。比如分段函数。

第二节导数的运算

一、基本初等函数的求导公式

(C)′=0(C是常数)(C)' = 0 (C是常数)(C)′=0(C是常数)
(xn)′=n∗xn−1(x^n)' = n * x^{n - 1}(xn)′=n∗xn−1
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x(cosx)′=−sinx
(ex)′=ex,(ax)=axln⁡a(a>0,a≠1)(e^x)' = e^x, (a^x) = a^x\ln a (a \gt 0, a \neq 1)(ex)′=ex,(ax)=axlna(a>0,a=1)
(ln⁡x)′=1x,(logax)′=1xln⁡a(a>0,a≠1)(\ln x)' = \cfrac 1 x, (log_a x)' = \cfrac 1 {x \ln a} (a \gt 0, a \neq 1)(lnx)′=x1,(logax)′=xlna1(a>0,a=1)
(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2x(tanx)′=sec2x
(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = - \csc^2 x(cotx)′=−csc2x
(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)' = \sec x \tan x(secx)′=secxtanx
(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)' = - \csc x \cot x(cscx)′=−cscxcotx
(arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \cfrac 1 {\sqrt{1 - x ^2}}(arcsinx)′=1−x21
(arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)' = -\cfrac 1 {\sqrt{1 - x ^2}}(arccosx)′=−1−x21
(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)' = \cfrac 1 {1 + x ^ 2}(arctanx)′=1+x21
(arccotx)′=−11+x2(arccot x)' = - \cfrac 1 {1 + x ^ 2}(arccotx)′=−1+x21

二、导数的四则运算法则

定理3.3 (加、减求导法则)

若函数 u(x),v(x)u(x), v(x)u(x),v(x) 在点 xxx 处均可导，则 u(x)±v(x)u(x) \pm v(x)u(x)±v(x) 在点 xxx 处可导，且
(u(x)±v(x))′=u′(x)±v′(x)(u(x) \pm v(x))' = u'(x) \pm v'(x)(u(x)±v(x))′=u′(x)±v′(x)

定理3.4 (乘法求导法则)

若函数 u(x),v(x)u(x), v(x)u(x),v(x) 在点 xxx 处均可导，则 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 在点 xxx 处可导，且
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
推论：设 u(x)u(x)u(x) 在点 xxx 处可导， CCC 为常数，则 (Cu(x))′=Cu′(x)(Cu(x))' = Cu'(x)(Cu(x))′=Cu′(x)

定理 3.5 (商的求导法则)

若函数 u(x),v(x)u(x), v(x)u(x),v(x) 在点 xxx 处均可导，且 v′(x)≠0v'(x) \neq 0v′(x)=0, 则 u(x)v(x)\cfrac {u(x)}{v(x)}v(x)u(x) 在点 xxx 处可导，且
(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)(\frac {u(x)} {v(x)})' = \frac {u'(x)v(x) - u(x)v'(x)} {v^2(x)}(v(x)u(x))′=v2(x)u′(x)v(x)−u(x)v′(x)

例题

求 f(x)=x4+sin⁡x−ln⁡xf(x) = x^4 + \sin x - \ln xf(x)=x4+sinx−lnx 的导函数。
解： f′(x)=(x4+sin⁡x−ln⁡x)′=(x4)′+(sin⁡x)′+(ln⁡x)=4x3+cos⁡x−1xf'(x) = (x^4 + \sin x - \ln x)' = (x^4)' + (\sin x)' + (\ln x) = 4x^3 + \cos x - \cfrac 1 xf′(x)=(x4+sinx−lnx)′=(x4)′+(sinx)′+(lnx)=4x3+cosx−x1
求 f(x)=excos⁡xf(x) = e^x \cos xf(x)=excosx 的导函数。
解：f′(x)=(ex)′cos⁡x+ex(cos⁡x)′=excos⁡x−sin⁡xex=ex(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' = e^x \cos x - \sin x e^x = e^x (\cos x - \sin x)f′(x)=(ex)′cosx+ex(cosx)′=excosx−sinxex=ex(cosx−sinx)
求 f(x)=tanxf(x) = tanxf(x)=tanx 的导函数。
解：f′(x)=(tanx)′=((sin⁡x)(cos⁡x))′=cos⁡2x+sin2xcos⁡2x=1cos⁡2x=sec⁡2xf'(x) = (tanx)' = (\cfrac {(\sin x)} {(\cos x)})' = \cfrac {\cos^2 x + sin^2x}{\cos^2 x} = \cfrac 1 {\cos^2 x} = \sec^2xf′(x)=(tanx)′=((cosx)(sinx))′=cos2xcos2x+sin2x=cos2x1=sec2x

三、反函数的求导法则

定理3.6 (反函数求导法则)

若函数 x=φ(y)x = \varphi(y)x=φ(y) 在区间 IyI_yIy 内单调、可导，且 φ′(y)≠0\varphi'(y) \neq 0φ′(y)=0，则其反函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在对应的区间 IxI_xIx 内单调、可导，且有 f′(x)=1φ′(y)f'(x) = \cfrac 1 {\varphi' (y)}f′(x)=φ′(y)1, 其中， Ix={x∣x=φ(y),y∈Iy}I_x = \{x|x = \varphi(y), y \in I_y \}Ix={x∣x=φ(y),y∈Iy}.

四、复合函数的求导法则

定理3.7 (复合函数求导法则)

若函数 u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x) 在点 xxx 处可导，而 y=f(u)y = f(u)y=f(u) 在相应的点 u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x) 处可导，则复合函数 y=f(φ(x))y = f(\varphi (x))y=f(φ(x)) 在点 xxx 处可导，且有 dydx=dydu⋅dudx\cfrac {dy}{dx} = \cfrac {dy}{du} \cdot \cfrac {du} {dx}dxdy=dudy⋅dxdu.

例题

设y=sin⁡(x2),y = \sin (x^2),y=sin(x2), 求 dydx\cfrac {dy} {dx}dxdy.
解：令 y=sin⁡u,u=x2y = \sin u, u = x^2y=sinu,u=x2,则
dydx=dydu⋅dudx=cos⁡u⋅2x=2xcos⁡(x2)\cfrac {dy}{dx} = \cfrac {dy}{du} \cdot \cfrac {du} {dx} = \cos u \cdot 2x = 2x \cos(x^2)dxdy=dudy⋅dxdu=cosu⋅2x=2xcos(x2)

第三节高阶导数

一、高阶导数的定义

定义

设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某邻域内处处可导，若极限 lim⁡Δx→0f′(x0+Δx)−f′(x0)Δx\lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f'(x_0 + \Delta x) - f'(x_0)}{\Delta x}Δx→0limΔxf′(x0+Δx)−f′(x0) 存在，则称其为函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处的二阶导数，记为 f′′(x0),d2ydx2∣x=x0或d2f(x)dx2∣x=x0f''(x_0), \cfrac {d^2y} {dx^2}|_{x = x_0} 或 \cfrac {d^2f(x)} {dx^2} |_{x = x_0}f′′(x0),dx2d2y∣x=x0或dx2d2f(x)∣x=x0，即
f′′(x0)=lim⁡Δx→0f′(x0+Δx)−f′(x0)Δxf''(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f'(x_0 + \Delta x) - f'(x_0)}{\Delta x}f′′(x0)=Δx→0limΔxf′(x0+Δx)−f′(x0)
类似地可以定义三阶导数，四阶导数，…，nnn阶导数，分别记为 y′′′,y(4),⋯,y(n)y''', y^{(4)},\cdots,y^{(n)}y′′′,y(4),⋯,y(n).一般地，y(n)=[y(n−1)]′y^{(n)} = [y^{(n - 1)}]'y(n)=[y(n−1)]′.

例题

求 y=ln⁡xxy = \cfrac {\ln x} xy=xlnx 的二阶导数。
解：①、先求一阶导数
y′=(ln⁡x)x=(ln⁡x)′x−(ln⁡x)x′x2=1xx−ln⁡x1x2=1−ln⁡xx2y' = \cfrac {(\ln x)} {x} = \cfrac {(\ln x)'x - (\ln x) x'}{x^2} = \cfrac{\frac 1 x x - \ln x 1}{x ^ 2} = \cfrac {1 - \ln x} {x ^ 2}y′=x(lnx)=x2(lnx)′x−(lnx)x′=x2x1x−lnx1=x21−lnx
②、求二阶导数
y′′=(1−ln⁡xx2)′=(1−ln⁡x)′x2−(1−ln⁡x)(x2)′x4=−3+2ln⁡xx3y'' = (\cfrac {1 - \ln x} {x ^ 2})' = \cfrac {(1 - \ln x)'x^2 - (1 - \ln x)(x ^ 2)'}{ x ^ 4} = \cfrac {-3 + 2\ln x}{x ^ 3}y′′=(x21−lnx)′=x4(1−lnx)′x2−(1−lnx)(x2)′=x3−3+2lnx
已知 y=e2xy = e ^ {2x}y=e2x，求 y^{(n)}。
解：归纳法。已知 y′=2e2x,y′′=22e(2x),y′′′=23e2x,⋯y' = 2e^{2x},y'' = 2^2e^{(2x)},y''' = 2^3e^{2x,\cdots}y′=2e2x,y′′=22e(2x),y′′′=23e2x,⋯,
归纳可得答案 y(n)=2ne(2x)y^{(n)} = 2 ^ n e ^ {(2x)}y(n)=2ne(2x).

第四节微分及其运算

一、微分的定义

设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某邻域内有定义。若函数的增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 可以表示成 Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)Δy=AΔx+o(Δx)，其中 AAA 是与 Δx\Delta xΔx 无关的常数， o(Δx)o(\Delta x)o(Δx) 是比 Δx\Delta xΔx 高阶的无穷小量（当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0时），则称函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处是可微的，称 AΔxA\Delta xAΔx 为函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处的微分，记为：dy∣x=x0=AΔxdy|_{x = x_0} = A \Delta xdy∣x=x0=AΔx.

二、函数的导数与微分的关系

① 若 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可微，则 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A\Delta x + o(\Delta x)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx)，
在等式两边同时除以 Δx\Delta xΔx，则有 ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx=A+o(Δx)Δx\cfrac {\Delta y}{\Delta x} = \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x} = A + \cfrac {o(\Delta x)}{\Delta x}ΔxΔy=Δxf(x0+Δx)−f(x0)=A+Δxo(Δx),
因 lim⁡Δx→0o(Δx)Δx=0\lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {o(\Delta x)}{\Delta x} = 0Δx→0limΔxo(Δx)=0，所以 lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=A\lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {\Delta y}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = AΔx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=A,
即 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0 出可导，且 f′(x0)=Af'(x_0) = Af′(x0)=A
② 另外，若 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可导，则 lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)\lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {\Delta y}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)
由极限和无穷小的关系得到 f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)+α,lim⁡Δx→0α=0\cfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0) + \alpha, \lim \limits_{\Delta x \to 0} \alpha = 0Δxf(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)+α,Δx→0limα=0
所以 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)Δx+αΔx\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + \alpha \Delta xΔy=f(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)Δx+αΔx，且 lim⁡Δx→0α=0\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha = 0Δx→0limα=0
故 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可微，且 dy∣x=x0=f′(x)Δxdy|_{x = x_0} = f'(x) \Delta xdy∣x=x0=f′(x)Δx.

定理 3.9 （可微与可导的关系）

函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可微的充分必要条件是函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处可导，且 dy∣x=x0=f′(x0)Δxdy|_{x = x_0} = f'(x_0) \Delta xdy∣x=x0=f′(x0)Δx。

定理 3.10 （可微与连续的关系）

函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可微，则函数 f(x)f(x)f(x) 必在 x0x_0x0 处连续。

例题

设 y=x4+5x3+x−1y = x^4 + 5 x ^ 3 + x - 1y=x4+5x3+x−1，求 dydydy.
解：y′=4x3+15x2+1y' = 4 x ^ 3 + 15 x ^ 2 + 1y′=4x3+15x2+1
dy=y′Δx=(4x3+15x2+1)Δx=(4x3+15x2+1)dxdy = y' \Delta x = (4 x ^ 3 + 15 x ^ 2 + 1)\Delta x = (4 x ^ 3 + 15 x ^ 2 + 1)dxdy=y′Δx=(4x3+15x2+1)Δx=(4x3+15x2+1)dx

三、微分的几何意义

Δy\Delta yΔy 是曲线 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在横坐标为 x0x_0x0 与 x0+Δxx_0 + \Delta xx0+Δx 两点处的纵坐标之差；
dydydy 是曲线 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0) 处的切线 y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) 在横坐标为 x0x_0x0 与 x0+Δxx_0 + \Delta xx0+Δx 两点处的纵坐标之差。

四、基本微分公式与微分运算法则

基本公式

d(C)=0(C是常数)d(C) = 0 (C是常数)d(C)=0(C是常数)
d(xn)=n∗xn−1dx（n为实数）d(x^n) = n * x^{n - 1}dx（n为实数）d(xn)=n∗xn−1dx（n为实数）
d(sin⁡x)=cos⁡xdxd(\sin x) = \cos x dxd(sinx)=cosxdx
d(cos⁡x)=−sin⁡xdxd(\cos x) = -\sin x dxd(cosx)=−sinxdx
d(ex)=exdxd(e^x) = e^xdxd(ex)=exdx
d(ax)=axln⁡adx(a>0,a≠1)d(a^x) = a^x\ln a dx (a \gt 0, a \neq 1)d(ax)=axlnadx(a>0,a=1)
d(ln⁡x)=1xdxd(\ln x) = \cfrac 1 x dxd(lnx)=x1dx
d(logax)=1xln⁡adx(a>0,a≠1)d(log_a x) = \cfrac 1 {x \ln a} dx(a \gt 0, a \neq 1)d(logax)=xlna1dx(a>0,a=1)
d(tan⁡x)=sec⁡2xdxd(\tan x) = \sec^2x dxd(tanx)=sec2xdx
d(cot⁡x)=−csc⁡2xdxd(\cot x) = - \csc^2 x dxd(cotx)=−csc2xdx
d(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡xdxd(\sec x) = \sec x \tan x dxd(secx)=secxtanxdx
d(csc⁡x)=−csc⁡xcot⁡xdxd(\csc x) = - \csc x \cot x dxd(cscx)=−cscxcotxdx
d(arcsin⁡x)=1dx1−x2dxd(\arcsin x) = \cfrac 1 dx{\sqrt{1 - x ^2}} dxd(arcsinx)=d1x1−x2dx
d(arccos⁡x)=−1dx1−x2dxd(\arccos x) = -\cfrac 1 dx {\sqrt{1 - x ^2}} dxd(arccosx)=−d1x1−x2dx
d(arctan⁡x)=11+x2dxd(\arctan x) = \cfrac 1 {1 + x ^ 2} dxd(arctanx)=1+x21dx
d(arccotx)=−11+x2dxd(arccot x) = - \cfrac 1 {1 + x ^ 2} dxd(arccotx)=−1+x21dx

定理 3.11 （微分运算法则）

若 u(x),v(x)u(x), v(x)u(x),v(x) 在点 xxx 处可微，则 u(x)±v(x),u(x)v(x),u(x)v(x)(v(x)≠0)u(x) \pm v(x), u(x)v(x), \cfrac {u(x)}{v(x)}(v(x) \neq 0)u(x)±v(x),u(x)v(x),v(x)u(x)(v(x)=0) 也在点 xxx 处可微，且
d(u(x)±v(x))=du(x)±dv(x),d(u(x)\pm v(x)) = du(x) \pm dv(x),d(u(x)±v(x))=du(x)±dv(x),
d(u(x)v(x))=v(x)du(x)+u(x)dv(x),d(u(x)v(x)) = v(x)du(x) + u(x)dv(x),d(u(x)v(x))=v(x)du(x)+u(x)dv(x),
d(u(x)v(x))=v(x)du(x)−u(x)dv(x)v2(x).d(\cfrac {u(x)}{v(x)}) = \cfrac {v(x)du(x) - u(x)dv(x)}{v^2(x)}.d(v(x)u(x))=v2(x)v(x)du(x)−u(x)dv(x).

定理 3.12 （微分形式的不变性）

设 u=φ(x)u = \varphi (x)u=φ(x) 在点 xxx 处可微， y=f(u)y = f(u)y=f(u) 在相应的点 u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x) 处可微，则复合函数 y=f(φ(x))y = f(\varphi (x))y=f(φ(x)) 在点 xxx 可微，且dy=f′(u)dudy = f'(u)dudy=f′(u)du. 其中 u=φ(x),du=φ′(x)dxu =\varphi(x), du = \varphi'(x)dxu=φ(x),du=φ′(x)dx

五、微分的应用

由于当 f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0f′(x0)=0 时，函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 的微分 dydydy 是增量 Δy\Delta yΔy 的线性主部，且相差的是比 Δx\Delta xΔx 高阶的无穷小 o(Δx)o(\Delta x)o(Δx)，所以当 ∣Δx∣|\Delta x|∣Δx∣ 较小的时候有：
①式:Δy=f(x0+Δx)−f(x0)≈dy①式: \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx dy①式:Δy=f(x0+Δx)−f(x0)≈dy
或②式:f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx或②式: f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x或②式:f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx
利用公式①可以估算函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 的增量 Δy\Delta yΔy；利用公式②，可以通过f(x0)f(x_0)f(x0) 和 f′(x0)f'(x_0)f′(x0) 来计算函数值。

例题

计算 1.02\sqrt {1.02}1.02 的近似值。
解：设y=f(x)=xy = f(x) = \sqrt xy=f(x)=x, 由于 1.02=1+0.021.02 = 1 + 0.021.02=1+0.02，所以取 x0=1,Δx=0.02x_0 = 1, \Delta x = 0.02x0=1,Δx=0.02，有 1.02=f(1+0.02)≈f(1)+f′(1)×0.02\sqrt {1.02} = f(1 + 0.02) \approx f(1) + f'(1) \times 0.021.02=f(1+0.02)≈f(1)+f′(1)×0.02
而 f′(x)=12x.f′(1)=12,f(1)=1f'(x) = \cfrac {1} {2 \sqrt {x}}. f'(1) = \cfrac 1 2,f(1) = 1f′(x)=2x1.f′(1)=21,f(1)=1
所以 1.02=f(1+0.02)≈1+12×0.02−1.01\sqrt {1.02} = f(1 + 0.02) \approx 1 + \cfrac 1 2 \times 0.02 - 1.011.02=f(1+0.02)≈1+21×0.02−1.01