定理描述

Bolzano-Weierstrass定理: 如果 { x n } \{ x_n \} {xn}是有界数列，那么其一定有收敛的子序列。

简单描述就是有界数列一定有收敛子列。该定理又称为列紧性定理、聚点定理。

为什么叫聚点定理？因为假设子列收敛到的那个值是 a a a, 那么一定能在 a a a的一个 ϵ \epsilon ϵ邻域内找到数列 { x n } \{ x_n \} {xn}的无穷多项， a a a即为聚点。

定理证明

证明: 因为 { x n } \{ x_n \} {xn}是有界的，因此设其上界为b, 下界为a，则在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 内，一定存在 { x n } \{ x_n \} {xn}的无穷多项( { x n } \{ x_n \} {xn}本身就有无穷多项)。

将闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 二等分，得到两个区间: [ a , b + a 2 ] [a, \frac{b+a}{2}] [a,2b+a]和 [ b + a 2 ， b ] [\frac{b+a}{2}， b] [2b+a，b]

上面两个区间一定有一个区间存在 { x n } \{ x_n \} {xn}的无穷多项(因为假设都只存在有限项，那么整个大区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]就也只存在 { x n } \{ x_n \} {xn}的有限项了)。

将 [ a , b + a 2 ] [a, \frac{b+a}{2}] [a,2b+a]和 [ b + a 2 ， b ] [\frac{b+a}{2}， b] [2b+a，b] 存在 { x n } \{ x_n \} {xn}无穷多项的其中一个区间重新记为 [ a 1 , b 1 ] [a_1, b_1] [a1,b1]。

再次将 [ a 1 , b 1 ] [a_1, b_1] [a1,b1]二等分，一定能从二等分的结果中再找到一个区间，使得其包含 { x n } \{ x_n \} {xn}的无穷多项，将该区间记为 [ a 2 , b 2 ] [a_2, b_2] [a2,b2]。

不断的将闭区间 [ a k , b k ] [a_k, b_k] [ak,bk] 二等分，每次再从其中找到包含 { x n } \{ x_n \} {xn}无穷多项的下一个区间 [ a k + 1 , b k + 1 ] [a_{k+1}, b_{k+1}] [ak+1,bk+1]。

这样重复的找下去，最终可以得到一个闭区间套:
[ a 1 , b 1 ] ⊃ [ a 2 , b 2 ] ⊃ . . . ⊃ [ a k , b k ] ⊃ . . . [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset ... \supset [a_k, b_k] \supset ... [a1,b1]⊃[a2,b2]⊃...⊃[ak,bk]⊃...
且区间 [ a k , b k ] [a_k, b_k] [ak,bk]的长度满足 b k − a k = b − a 2 k b_k - a_k = \frac{b - a}{2^k} bk−ak=2kb−a

可以根据上式简单证明当 k → ∞ k \to \infty k→∞时 b k − a k b_k - a_k bk−ak 是收敛到0的。

因此根据闭区间套定理，数列 { a n } \{ a_n \} {an}和 { b n } \{ b_n \} {bn}都收敛且收敛到相同的值，即:
lim ⁡ n → ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ b n = c \lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}b_n = c n→∞liman=n→∞limbn=c

接下来开始寻找数列的收敛子列。

在上面构造闭区间套的过程中，首先因为第一个区间 [ a 1 , b 1 ] [a_1, b_1] [a1,b1]中包含 { x n } \{ x_n \} {xn}的无穷多项，因此在其中选择 { x n } \{ x_n \} {xn}的一项，记作 { x n 1 } \{ x_{n1} \} {xn1}。

然后在下一个区间 [ a 2 , b 2 ] [a_2, b_2] [a2,b2]中选择 { x n } \ { x n 1 } \{ x_n\} \backslash \{ x_{n1} \} {xn}\{xn1}中的一项 x n 2 x_{n2} xn2。(即数列 { x n } \{ x_n \} {xn}中除去前面选择过的 { x n 1 } \{ x_{n1} \} {xn1}再挑一项)。

如此不断寻找下去，例如第 k k k项为 [ a k , b k ] [a_k, b_k] [ak,bk]中选择 { x n } \ { x n 1 , x n 2 , . . . , x n k − 1 } \{ x_n \} \backslash \{ x_{n1} , x_{n2}, ..., x_{n_{k-1}}\} {xn}\{xn1,xn2,...,xnk−1}的一项 x n k x_{nk} xnk。

如此便构造出了 { x n } \{ x_n \} {xn}中的一个子列 { x n k } \{ x_{nk} \} {xnk}，其中的每一项都在区间 [ a k , b k ] [a_k, b_k] [ak,bk]中。即
a k ≤ x n k ≤ b k a_k \leq x_{nk} \leq b_k ak≤xnk≤bk

由于数列 { a n } \{ a_n \} {an} 和 { b n } \{ b_n \} {bn}都是收敛的，而且收敛到了一个相同的值c。因此在上式中令 k → ∞ k \to \infty k→∞取极限，便可根据夹逼定理得到

lim ⁡ n → ∞ x n k = c \lim_{n \to \infty}x_{nk} = c n→∞limxnk=c
证毕。

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