洛谷P2495 [SDOI2011]消耗战 | 一个典型的可以搞懂虚树的例题

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题目大意：

给出一棵树，之后对这棵树进行q次询问，每次询问一个点集，给出使得这些点集中的点都不能直接或者间接的与1相连，需要删边的最小代价(边的代价在给树的时候给出)，，点集不包含1，点集总共大小<=500000

题目思路：

首先考虑如果没有m次询问的结果

考虑树形dp

对于一个点来说：

1.如果其是询问点，那么此点必定会删除，所以这个点的贡献必然是1~u之间的边权最小值

2.如果不是询问点，那么对于这个点来说，可以全部删除其子树的点同时也可以找一个该点到1的边权最小值，断掉该点子树的所有联系

所以状态方程：

$dp[u] = min(\sum_{e->subtree_u}{dp[e]},c[u])$

很明显，如果每次都这么做，复杂度就会到O（M*N）

时间浪费在了哪？

假设一个询问点是叶子节点，中间所有点的均为无用点，那么进行树形dp时一些点是没必要存在的，但是却遍历了

那么从这个角度出发，我们能不能使得每次的树都成为只包含询问点的树呢？

之后因为点集总和不超过500000那么复杂度就允许了。

所以，我们设法构造一个新树，使得新树中只包含任意两询问点的LCA和询问点

所以，用到的算法——虚树

所以，我们可以将虚树构造出来，之后只需要在虚树上进行树形dp即可

构造虚树时只需要注意几个情况：

1.首先按dfs序排序，确保祖先孩子的顺序，之后开一个栈记录遍历过程。

2.如果该点与栈顶元素的lca 相同，那么说明新来的点与栈顶点在同一条树链，直接入栈即可

3.如果该点与栈顶元素的lca不同，那么说明当前这些点以lca为分界点将这两点分在了不同的子树中，此时只需要不断的回退栈即可。

之后对于链上的最小值问题：我觉得既然倍增都用了，再用一个倍增也无妨，最后发现完全可以在过程中记录或者预处理，可以优化时间复杂度一下！

Code:

/*** keep hungry and calm CoolGuang!***/
#pragma GCC optimize(2)
//#include <bits/stdc++.h>
#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<iostream>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pp;
const ll INF=1e17;
const int maxn=1e6+6;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-3;
inline bool read(ll &num)
{char in;bool IsN=false;in=getchar();if(in==EOF) return false;while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();if(in=='-'){ IsN=true;num=0;}else num=in-'0';while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9'){num*=10,num+=in-'0';}if(IsN) num=-num;return true;}
ll n,m,p;
int dfn[maxn],deep[maxn],f[maxn][21];///时间戳 深度 fa数组
vector< pair<int,int> >v[maxn];///存图
vector<int>g[maxn];
int q[maxn];///存lca及询问点
int st[maxn],s = 0;///模拟栈的实现
int cnt = 0,save[maxn];///清空操作
int ldfn = 0;
int vis[maxn],c[maxn];
void dfs(int u,int fa,ll w){deep[u] = deep[fa] + 1;dfn[u] = ++ldfn;f[u][0] = fa;c[u] = min(c[fa]*1ll,w);for(int k=1;k<=20;k++) f[u][k] = f[f[u][k-1]][k-1];for(auto x:v[u]){if(x.first == fa) continue;dfs(x.first,u,x.second);}
}
int LCA(int u,int v){///求lcaif(deep[u] < deep[v]) swap(u,v);for(int k=20;k>=0;k--) if(deep[v]<=deep[f[u][k]]) u = f[u][k];if(u == v) return u;for(int k=20;k>=0;k--){if(f[u][k]!=f[v][k]){u = f[u][k];v = f[v][k];}}return f[u][0];
}
void Insert(int x){///虚树中插入节点xif(s == 1) {st[++s] = x;return ;}int lca = LCA(st[s],x);if(lca == st[s]) {st[++s] = x;return ;}while(s>1&&dfn[lca]<=dfn[st[s-1]]){g[st[s-1]].push_back(st[s]);s--;}if(lca != st[s]){g[lca].push_back(st[s]);st[s] = lca;}st[++s] = x;
}
bool cmp(int a,int b){return dfn[a] < dfn[b];
}
ll Get_Result(int u,int fa){ll temp = 0;for(int e:g[u]) temp += Get_Result(e,u);g[u].clear();if(vis[u]) return c[u];return u==1?temp:min(c[u]*1ll,temp);
}
int main(){read(n);for(int i=1;i<=n-1;i++){int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);v[x].push_back({y,w});v[y].push_back({x,w});}c[1] = 1e9+7;dfs(1,1,1e9+7);read(m);for(int i=1;i<=m;i++){read(p);s = cnt = 0;for(int k=1;k<=p;k++){scanf("%d",&q[k]);save[++cnt] = q[k];vis[q[k]] = 1;}st[++s] = 1;sort(q+1,q+1+p,cmp);for(int k=1;k<=p;k++) Insert(q[k]);while(s>1) g[st[s-1]].push_back(st[s]),s--;printf("%lld\n",Get_Result(1,1));for(int k=1;k<=p;k++) vis[q[k]] = 0;g[1].clear();}return 0;
}
/**
10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
4 5 7 8 3
**/