动态规划简单例子——国王与金矿(c++)

动态规划的要点：确定全局最优解和最优子结构之间的关系，以及问题的边界。以数字的形式表达就是状态转移方程式。下面以一个例子来对他们进行描述。

问题描述：

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求如何分配工人才能挖出最多的黄金。

第一座金矿含金500，需要5人；第二座金矿含金200，需要3人；第三座金矿含金300，需要4人；第四座金矿含金350，需要3人；第五座金矿含金400，需要5人。

思路：

对于此类提到获得最多的问题，首先想到的一定是做比较，得出在满足人员条件的情况下，选择出含金量最多的方案。

设w为工人总数，n为金矿数，p[]为金矿要的人，g[]为含金量.

将问题细小化，如果只有三座金矿，那么比较方法一定是先看第一座金矿，满足条件则记录数值，此时的员工数减去第一座金矿所需人数，再对第二座金山进行比较，看是否满足人数要求，比较挖和不挖的最大值作为当前的最优结果。以这种思路很容易可以写一个递归的程序，如下：

int getmine(int w,int n,int p[],int g[])
{if(w==0||n==0) return 0;if(w<p[n-1])//比较当前金矿是否可以挖掘，不能则继续下一座 {return getmine(w,n-1,p,g);} return max(getmine(w,n-1,p,g),getmine(w-p[n-1],n-1,p,g)+g[n-1]);
//在挖与不挖之间作比较，选择最大值
}

但是这样会导致很多重复计算的值，而且随着数量的增加需要的空间也会越来越大。所以我们可以想到使用一张表来存储结果。由上面的分析可以知道，我们可以将问题简化为一个关于已经挖了4个金矿比较第5个金矿挖与不挖获得含金量多少的比较。

可以直接贴出代码

int getmine_2(int w,int n,int p[],int g[])
{int a[N][M];for(int i = 1;i<=n;i++)a[i][0] = 0;int i = 1;for(int j = 1;j<=w;j++){if(j<p[0]) a[i][j] = 0;else{a[i][j] = g[0];}} for(int i = 2;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=w;j++){if(j<p[i-1]) {a[i][j] = a[i-1][j];}else{a[i][j] = max(a[i-1][j],a[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]);//在比较时，应该看的是人数一定，但不同金矿数而产生不同的收益值 }}}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=w;j++)cout<<a[i][j]<<" ";cout<<endl;}
}

上图是输出的记录表数值的记录。横向为员工数，纵向为金矿数。

其实在实际求解时，不需要保存这个二维数组，只需要保存最后一行，最后输出数组中最后一个数字即可，这样是为了更好的看出比较的过程。

解决时遇到的问题

本题整体思路并不难，只是在人数小于要求时返回0，满足时得到新结果进行一个比较并且记录。

需要注意的是，在比较时应该是a[i-1][j]与a[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]，而不是a[i][j-p[i-1]]+g[i-1].只有上层才是对应之前的状态。以及初始化数组时应该给a[i][0]赋初值0.因为如果人数刚好满足j列会需要之前a[i-1][0]的值相加。

思路可能要点乱，看代码就好了，以后技术提高了再修改。