动态规划学习-【国王和金矿】

题目：

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

方法一：排列组合

每一座金矿都有挖与不挖两种选择，如果有N座金矿，排列组合起来就有2^N种选择。对所有可能性做遍历，排除那些使用工人数超过10的选择，在剩下的选择里找出获得金币数最多的选择。

代码比较简单就不展示了，时间复杂度也很明显，就是O(2^N)。

对问题的详细分析：

动态规划有三个核心元素：最优子结构、边界、状态转移方程式。

问题的最优子结构：一个是4金矿10工人时的最优选择，一个是4金矿（10-3）工人时的最优选择。

我们来分析一下最优子结构和最终问题的关系。换句话说，4个金矿的最优选择和5个金矿的最优选择之间，是什么样的关系？

5个金矿的最优选择，就是（前4座金矿10工人的挖金数量）和（前4座金矿7工人的挖金数量+第5座金矿的挖金数量）的最大值。

下面，我们把金矿数量设为N，工人数设为W，金矿的黄金量设为数组G[]，金矿的用工量设为数组P[]。

那么5座金矿和4座金矿的最优选择之间存在这样的关系：F(5,10) = MAX( F(4,10), F(4,10-P[4])+G[4] ) 注意：数组下标从0开始。

最后我们还需要确定一下，这个问题的边界是什么？

边界两种情况：（1）只有1座金矿，也就是N=1的时候。这时候没得选，只能挖这座唯一的金矿，得到的黄金数量就是G[0]。（2）如果给定的工人数量不够挖取第1座金矿，也就是 W < P[0] 的时候，那么得到的黄金数就是0了。

用公式来表达如下：

经过上面的分析，我们可以得出这个问题完整的状态转移方程：

F (N,W) = 0 （当N <= 1, W < P[0]）;

F (N,W) = G[0] （当N == 1, W >= P[0]）;

F (N,W) = F(N-1, W) （当N > 1, W < P[N - 1]）;

F (N,W) = MAX ( F(N-1, W) , F(N-1，W - P[ N-1]) + G[N-1])（当N > 1, W >= P[N - 1]）;

方法二：简单递归

把状态转移方程式翻译成递归程序，递归的结束的条件就是方程式当中的边界。因为每个状态有两个最优子结构，所以递归的执行流程类似于一颗高度为N的二叉树。

public class MostGold3 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint[] g = {400, 500, 200, 300, 350};int[] p = {5, 5, 3, 4, 3};System.out.println(getMostGold(5, 10, g, p));}/*** * @param n * @param w* @param g 数组g中存储每座金矿的金矿数* @param p 数组p中存储挖每座金矿需要的工人数* @return 该方法返回工人数为w时挖数组g中前n座金矿所能得到的最大金矿数*///递归解法public static int getMostGold(int n, int w, int[] g, int[] p) { if (n > g.length) throw new RuntimeException("输入的n值大于给定的金矿数");if (n <= 1 && w < p[0]) return 0;if (n == 1 && w >= p[0])return g[0];if (n > 1 && w < p[n-1]) return getMostGold(n-1, w, g, p);int a = getMostGold(n-1, w, g, p);int b = getMostGold(n-1, w - p[n-1], g, p) + g[n-1];return Math.max(a, b);}}

方法的时间复杂度是O(2^N)。

方法三：记忆化搜索方法（备忘录算法）

在简单递归的基础上增加一个HashMap备忘录，用来存储中间结果。HashMap的Key是一个包含金矿数N和工人数W的对象，Value是最优选择获得的黄金数。

方法的时间复杂度和空间复杂度相同，都等同于备忘录中不同Key的数量。

import java.util.HashMap;public class MostGold2 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint[] g = { 400, 500, 200, 300, 350 };int[] p = { 5, 5, 3, 4, 3 };System.out.println(getMostGold(5, 10, new HashMap<MostGold2.Input, Integer>(), g, p));}/*** @describe 该内部类对象用于备忘录算法中作为HashMap存储的键*/private static class Input {private int n;private int w;public Input(int n, int w) {super();this.n = n;this.w = w;}@Overridepublic int hashCode() {final int prime = 31;int result = 1;result = prime * result + n;result = prime * result + w;return result;}@Overridepublic boolean equals(Object obj) {if (this == obj)return true;if (obj == null)return false;if (getClass() != obj.getClass())return false;Input other = (Input) obj;if (n != other.n)return false;if (w != other.w)return false;return true;}}public static int getMostGold(int n, int w, HashMap<Input, Integer> map, int[] g, int[] p) {if (n > g.length)throw new RuntimeException("输入的n值大于给定的金矿数");if (n <= 1 && w < p[0])return 0;if (n == 1 && w >= p[0])return g[0];if (n > 1 && w < p[n - 1]) {Input input = new Input(n - 1, w);if (map.containsKey(input))return map.get(input);int value = getMostGold(n - 1, w, map, g, p);map.put(input, value);return value;}Input input1 = new Input(n - 1, w);Input input2 = new Input(n - 1, w - p[n - 1]);int a = 0; // 用于记录F(n-1,w)的值int b = 0; // 用于记录F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1])的值if (map.containsKey(input1))a = map.get(input1);a = getMostGold(n - 1, w, map, g, p);map.put(input1, a);if (map.containsKey(input2))b = map.get(input2) + g[n - 1];b = getMostGold(n - 1, w - p[n - 1], map, g, p);map.put(input2, b);b += g[n - 1];return a > b ? a : b;}}

方法四：动态规划方法

至于动态规划方法的实现，这个问题的参数有两个，也就是存在两个输入维度，怎么能实现自底向上的递推呢？

我们先画出如下表格，表格的第一列代表给定前1-5座金矿的情况，也就是N的取值。表格的第一行代表给定的工人数，也就是W的取值。表格中其余的空白格，代表给定N和W值对应的黄金获得数，也就是F(N，W)。下面让我们来逐行填写表格中的空白。

1. 1金矿时，是400金，5工人。所以前4个格子都是0，因为人数不够。后面格子都是400，因为只有这一座金矿可挖。

2. 第2座金矿有500金，5工人。第二行前4个格子是W < 5, 所以F（N，W）= F（N - 1，W）= 0。

第2行后6个格子计算，因为W >=5，所以根据F（N，W）= MAX（F(N-1，W)，F(N-1,W-5)+500），第5-9个格子的值是500。

需要注意的是第2行第10个格子，也就是N=2,W=10的时候，F(N-1,W)=400，F(N-1,W-5)=400,MAX(400，400+500) = 900。

3. 第3座金矿有200金，需要3工人。第3行计算方法和前面一样。

4. 第4座金矿有300金，需要4工人，计算方法同上。

5. 第5座金矿有350金，需要3工人，计算方法同上。

寻找规律：

我们来思考一下，对于上面每个格子的推导寻找它们的规律。

除了第1行外，每个格子都是前一行的一个或两个格子推导而来的。

比如说3金矿8工人的结果，就是来自于2金矿5工人和2金矿8工人，MAX(500,500+200)=700。

再比如，5金矿10工人的结果，就来自于4金矿7工人和4金矿10工人，MAX(900，500+350) = 900。

在实现程序的时候，我们也可以像这样从左至右，从上到下一格一格推导出最终结果。而且我们并不需要存储整个表格，只需要存储前面一行的结果，就可以推导出新的一行。我们来实现一下代码。

public class MostGold {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint[] g = {400, 500, 200, 300, 350};int[] p = {5, 5, 3, 4, 3};System.out.println(getMostGold(5, 10, g, p));}/*** * @param n 第几个金矿* @param w 总共有几个人* @param g 数组，存放每个金矿的黄金数* @param p 数组，存放每个金矿需要的工人数* @return*/public static int getMostGold(int n, int w, int[] g, int[] p) {int col = w + 1;   //因为F(x,0)也要用到，所以表格应该有w+1列int[] preResults = new int[col]; //存放上一行的结果int[] results = new int[col]; //存放当前行的结果//填充边界格子的值for(int i=0; i<=w; i++) {if(i < p[0]) {preResults[i] = 0;}else {preResults[i] = g[0];}}//填充其余格子的值，从上一行推出下一行，外层循环是金矿数量，内层循环是工人数for(int i=0; i<n; i++) {for(int j=0; j<col; j++) {if(j < p[i]) {results[j] = preResults[j];}else {results[j] = Math.max(preResults[j], preResults[j-p[i]] + g[i]);}}for(int j=0; j<col; j++) {preResults[j] = results[j];}}return results[w];}}

最后总结一下DP算法的思路:

核心: 最优子结构、边界条件、状态转移方程

解题步骤:

1. 建立数学模型

2. 写代码求解问题

如何建模?

先写出所求问题的最优子结构,进而分析出边界和状态转移方程,数学模型即这2者的组合

对于2输入维度动态规划，画出表格帮助分析，行列分别代表1个输入维度。

如何求解？

建好模后，根据方程组写出自低向上的动态规划代码，一维输入就是1个for循环，二维输入就是2个for循环，如果方程组比较抽象，可以画表格帮助分析。

整理来源：

【1】漫画：什么是动态规划？ - 小灰的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/31628866

【2】https://www.cnblogs.com/hczd123/p/7412950.html

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