形函数的构造原理-有限元形函数的几个种类
在有限元法中,形函数是一个十分重要的概念。它不仅可以用做单元的内插函数,把单元内任一点的位移用节点位移表示,而且可作为加权余量法中的加权函数,可以处理外载荷,将分布力等效为节点上的集中力和力矩,此外,它还可用于后续的等参数单元的坐标变换等。
1形函数的构造原理
单元形函数主要取决于单元的形状、节点类型和单元的节点数目。节点的类型可以是只包含场函数的节点值,也可能还包含场函数导数的节点值。是否需要场函数导数的节点值作为节点变量,一般取决于单元边界上的连续性要求:如果边界上只要求函数值保持连续,称为co型单元;若要求函数值及其一阶导数值都保持连续,则是cl型单元。
在有限元中,单元插值形函数均采用不同阶次的幕函数多项式形式。对于co型单元,单元内的未知场函数的线性变化仅用角(端)节点的参数来表示。节点参数只包含场函数的节点值。而对于C1型单元,节点参数中包含场函数及其一阶导数的节点值。与此相对应,形函数可分为拉格朗日(Lagrange)型(不需要函数在节点上的斜率或曲率)和厄米特( Hermite)型(需要形函数在节点上的斜率或曲率)两大类。而形函数的幕次则是指所采用的多项式的幂次,可能具有一次、二次、三次或更高次等。
另外,有限元形函数N是坐标x、y、z的函数,而节点位移不是x、y、z的函数,因此静力学中的位移对坐标徽分时,只对形函数N作用,而在动力学中位移对时间t微分时,只对节点位移列阵起作用。
1.1 常用单元的形函数
(1)一维一次两节点单元(杆单元)
(2)二维一次三节点单元(平面三角形单元)
(3)三维一次四节点单元(三维四面体单元)
(4)一维二次三节点单元(高次单元)
(5)一维三次四节点单元(Lagrange型)
(6)一维三次二节点单元(Hermite型)(平面梁单元)
(7)二维一次四节点单元(平面四边形单元或矩形单元)
(8)三维一次八节点单元(Brick单元)
1.2 形函数的构造规律—帕斯卡三角形
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