前端 · 深入理解 transform 函数的计算原理 ①

在涉及到前端图形学的时候，几乎避免不了 transform 属性的应用。

而 transform 一共内置了五种不同大类的函数（矩阵变形、平移、缩放、旋转、倾斜，具体细节有九个），开发者经常容易被不同函数的组合变换，搞到晕头转向。

当面对需要精准定位的需求时，如果对 transform 的计算原理理解不透彻，就会导致代码冗长、复杂度增加，易读性也会迅速下降。

事实上，前端里的 transform 有很多种，比如 CSS 和 SVG 中的 transform 属性就有些许不同。不过万变不离其宗，它们底层的数学原理大体是一致的。

所以为了方便描述，本篇这里以 SVG transform 为主。

一来，可以免去 CSS 中大量关于单位不同的换算，排开很多跟原理无关的细节；
二来，作为矢量格式的 SVG 足够精简，用来描述数学计算方式，矢量化参数拥有天生的优势；

① transform: matrix(a, b, c, d, e, f)

说到图形学，那必然会涉及到矩阵运算。

matrix 函数可以说是最本源的存在，如果将前端页面想象成一块画布，matrix 就是这块画布的改造者。只需要设定不同的参数，就可以用 matrix 将图形随意变换。

同时，matrix 函数还是其他四类功能函数的核心，这四类分别是平移、缩放、旋转、倾斜，他们的实现方式都可以用 matrix 等价替换。

matrix 函数的参数是一个 3x3 的方阵矩阵，只不过这个矩阵中只有六个变量，所以函数声明里显式的参数列表长度为 6。

矩阵形式如下（假设为 M）：

M = ( a c e b d f 0 0 1 ) M = \begin{pmatrix} a & c & e \\ b & d & f \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} M=⎝⎛ab0cd0ef1⎠⎞

怎么用呢？
答案是：矩阵乘法

假设页面上有一个点 point_old 的坐标为 ***(oldX, oldY)***，转换后新的点 point_new 坐标为 ***(newX, newY)***。

在运算过程中，点的矩阵描述方式如下：

p o i n t o l d = ( o l d X o l d Y 1 ) p o i n t n e w = ( n e w X n e w Y 1 ) point_{old} = \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \end{pmatrix} \\ point_{new} = \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \end{pmatrix} pointold=⎝⎛oldXoldY1⎠⎞pointnew=⎝⎛newXnewY1⎠⎞

计算方式为：

p o i n t n e w = M ∗ p o i n t o l d point_{new} = M * point_{old} pointnew=M∗pointold

( n e w X n e w Y 1 ) = ( a c e b d f 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( a ∗ o l d X + c ∗ o l d Y + e b ∗ o l d X + d ∗ o l d Y + f 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c & e \\ b & d & f \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a*oldX+c*oldY+e \\ b*oldX+d*oldY+f \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛ab0cd0ef1⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛a∗oldX+c∗oldY+eb∗oldX+d∗oldY+f1⎠⎞

所以：

p o i n t n e w { n e w X = a ∗ o l d X + c ∗ o l d Y + e n e w Y = b ∗ o l d X + d ∗ o l d Y + f point_{new} \begin{cases} newX = a*oldX + c*oldY + e \\ newY = b*oldX + d*oldY + f \\ \end{cases} pointnew{newX=a∗oldX+c∗oldY+enewY=b∗oldX+d∗oldY+f

在这六个参数中，e、f 主要负责偏移量，其余 a、b、c、d 则代表不同的放大倍数。

现在我们知道，可以通过对这六个参数的控制，实现不同的效果了。

比如默认状态下，matrix(1, 0, 0, 1, 0, 0) 代表了什么也不动，因为套用上述计算公式，

( n e w X n e w Y 1 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( 1 ∗ o l d X + 0 ∗ o l d Y + 0 0 ∗ o l d X + 1 ∗ o l d Y + 0 1 ) = ( o l d X o l d Y 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*oldX+0*oldY+0 \\ 0*oldX+1*oldY+0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛100010001⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛1∗oldX+0∗oldY+00∗oldX+1∗oldY+01⎠⎞=⎝⎛oldXoldY1⎠⎞

结果可以发现，点坐标没有任何变换。

到这里，transform 的核心函数 matrix() 是如何计算的，应该已经清楚了。

那么接下来看看剩下其他所有的函数是如何实现和 matrix 转换的。

<h1>default</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px"><line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" /><line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" /><rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9"></rect>
</svg>

② transform: translate(x)

translate 为平移函数，当只有一个参数时，表示图形水平移动了多少的距离。
即：
n e w X = x + o l d X newX = x + oldX newX=x+oldX

那么很简单的，构造矩阵 matrix(1, 0, 0, 1, x, 0) 即可实现 translate(x) 的效果：

( n e w X n e w Y 1 ) = ( 1 0 x 0 1 0 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( 1 ∗ o l d X + 0 ∗ o l d Y + x 0 ∗ o l d X + 1 ∗ o l d Y + 0 1 ) = ( x + o l d X o l d Y 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*oldX+0*oldY+x \\ 0*oldX+1*oldY+0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + oldX\\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛100010x01⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛1∗oldX+0∗oldY+x0∗oldX+1∗oldY+01⎠⎞=⎝⎛x+oldXoldY1⎠⎞

<div>    <h1>transform: translate(x)</h1>    <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">        <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />        <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />        <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="translate(100)"></rect>   </svg><h1>transform: matrix(1, 0, 0, 1, x, 0)</h1>    <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">        <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />        <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />        <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0,0,1,100,0)"></rect>    </svg>
</div>

③ transform: translate(x, y)

这里可以看做单一参数的 translate 函数的重载函数，第二个参数 y 值，代表在笛卡尔坐标系下的二维平面中，y 轴方向的平移运动。

即：
{ n e w X = x + o l d X n e w Y = y + o l d Y \begin{cases} newX = x + oldX \\ newY = y + oldY \end{cases} {newX=x+oldXnewY=y+oldY

同理，可构造矩阵 matrix(1, 0, 0, 1, x, y) 实现 translate(x, y) 的效果：

( n e w X n e w Y 1 ) = ( 1 0 x 0 1 y 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( 1 ∗ o l d X + 0 ∗ o l d Y + x 0 ∗ o l d X + 1 ∗ o l d Y + y 1 ) = ( x + o l d X y + o l d Y 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*oldX+0*oldY+x \\ 0*oldX+1*oldY+y \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + oldX \\ y + oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛100010xy1⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛1∗oldX+0∗oldY+x0∗oldX+1∗oldY+y1⎠⎞=⎝⎛x+oldXy+oldY1⎠⎞

<div>    <h1>transform: translate(x, y)</h1>    <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">       <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />       <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />      <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="translate(100,50)"></rect>   </svg><h1>transform: matrix(1, 0, 0, 1, x, y)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">   <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />      <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />     <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0,0,1,100,50)"></rect>   </svg>
</div>

④ transform: scale(s)

scale 为缩放函数，当只有一个参数时，表示图形在水平和纵向两个轴上，实现等比例的放大缩小。

即：

{ n e w X = s ∗ o l d X n e w Y = s ∗ o l d Y \begin{cases} newX = s*oldX \\ newY = s*oldY \end{cases} {newX=s∗oldXnewY=s∗oldY

由于这里是成比例放大，所以可得变换矩阵 ***matrix(s, 0, 0, s, 0, 0)***：

( n e w X n e w Y 1 ) = ( s 0 0 0 s 0 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( s ∗ o l d X + 0 ∗ o l d Y + 0 0 ∗ o l d X + s ∗ o l d Y + 0 1 ) = ( s ∗ o l d X s ∗ o l d Y 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s*oldX+0*oldY+0 \\ 0*oldX+s*oldY+0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s*oldX \\ s*oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛s000s0001⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛s∗oldX+0∗oldY+00∗oldX+s∗oldY+01⎠⎞=⎝⎛s∗oldXs∗oldY1⎠⎞

<div>  <h1>transform: scale(s)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px"> <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />     <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />      <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="scale(2)"></rect>  </svg><h1>transform: matrix(s, 0, 0, s, 0, 0)</h1>   <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">   <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />    <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />    <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(2,0,0,2,0,0)">   </rect>  </svg>
</div>

⑤ transform: scale(sx, sy)

这里同样的，也是拥有两个参数的重载函数，由此可以分开控制不同轴向的缩放倍率。

即：
{ n e w X = s x ∗ o l d X n e w Y = s y ∗ o l d Y \begin{cases} newX = sx*oldX \\ newY = sy*oldY \end{cases} {newX=sx∗oldXnewY=sy∗oldY

同理可得变换矩阵 ***matrix(sx, 0, 0, sy, 0, 0)***：

( n e w X n e w Y 1 ) = ( s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( s x ∗ o l d X + 0 ∗ o l d Y + 0 0 ∗ o l d X + s y ∗ o l d Y + 0 1 ) = ( s x ∗ o l d X s y ∗ o l d Y 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sx*oldX+0*oldY+0 \\ 0*oldX+sy*oldY+0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sx*oldX \\ sy*oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛sx000sy0001⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛sx∗oldX+0∗oldY+00∗oldX+sy∗oldY+01⎠⎞=⎝⎛sx∗oldXsy∗oldY1⎠⎞

<div>   <h1>transform: scale(sx, sy)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">    <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />     <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />      <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="scale(0.5,2)"></rect>  </svg><h1>transform: matrix(sx, 0, 0, sy, 0, 0)</h1> <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">   <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />     <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />     <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(0.5,0,0,2,0,0)"></rect>   </svg>
</div>

⑥ transform: rotate(a)

rotate 为旋转函数，当参数个数为 1 时，表示以当前元素坐标系原点为旋转点，旋转角度为 a 度。

需要提前注意的是，这里的单位为 deg，角度制。

而在接下来换算成 matrix 的过程中，需要用到三角函数。

所以在数值上，需要将角度制，转换成弧度制：
a ′ = π 180 ∗ a a'=\frac{\pi}{180}*a a′=180π∗a

此外，由于在二维平面旋转运动下，任意点到旋转圆心的距离不变。所以为了方便计算，我们在这里使用极坐标系，推导笛卡尔坐标系下物体运动的方式。

根据极坐标系，我们用有序数对 *(ρ, θ) * 表示任意点 P 的坐标，ρ 代表极径，θ 代表极角（弧度制）。

记为 P(ρ, θ)

那么，任意点旋转 a 角度（*a’ * 弧度）后的坐标即为：P(ρ, θ + a’)

利用坐标系间的映射关系：

{ X = ρ ∗ c o s ( θ ) Y = ρ ∗ s i n ( θ ) \begin{cases} X = \rho*cos(\theta) \\ Y = \rho*sin(\theta) \\ \end{cases} {X=ρ∗cos(θ)Y=ρ∗sin(θ)

可得：
n e w P = o l d P ( ρ , θ + a ′ ) newP = oldP(\rho,\theta + a') newP=oldP(ρ,θ+a′)

{ n e w X = ρ ∗ c o s ( θ + a ′ ) n e w Y = ρ ∗ s i n ( θ + a ′ ) \begin{cases} newX = \rho*cos(\theta+a') \\ newY = \rho*sin(\theta+a') \\ \end{cases} {newX=ρ∗cos(θ+a′)newY=ρ∗sin(θ+a′)

进一步展开可得：
n e w X = ρ ∗ c o s ( θ + a ′ ) = ρ ∗ c o s ( θ ) ∗ c o s ( a ′ ) − ρ ∗ s i n ( θ ) ∗ s i n ( a ′ ) = o l d X ∗ c o s ( a ′ ) − o l d Y ∗ s i n ( a ′ ) = c o s ( a ′ ) ∗ o l d X + ( − 1 ) ∗ s i n ( a ′ ) ∗ o l d Y \begin{aligned} newX &= \rho*cos(\theta+a') \\ &= \rho*cos(\theta)*cos(a')-\rho*sin(\theta)*sin(a') \\ &= oldX*cos(a')-oldY*sin(a') \\ &= cos(a')*oldX + (-1)*sin(a')*oldY \\ \end{aligned} newX=ρ∗cos(θ+a′)=ρ∗cos(θ)∗cos(a′)−ρ∗sin(θ)∗sin(a′)=oldX∗cos(a′)−oldY∗sin(a′)=cos(a′)∗oldX+(−1)∗sin(a′)∗oldY

n e w Y = ρ ∗ s i n ( θ + a ′ ) = ρ ∗ s i n ( θ ) ∗ c o s ( a ′ ) + ρ ∗ c o s ( θ ) ∗ s i n ( a ′ ) = o l d Y ∗ c o s ( a ′ ) + o l d X ∗ s i n ( a ′ ) = s i n ( a ′ ) ∗ o l d X + c o s ( a ′ ) ∗ o l d Y \begin{aligned} newY & = \rho*sin(\theta+a') \\ & = \rho*sin(\theta)*cos(a')+\rho*cos(\theta)*sin(a') \\ & = oldY * cos(a') + oldX * sin(a') \\ & = sin(a') * oldX + cos(a') * oldY \end{aligned} newY=ρ∗sin(θ+a′)=ρ∗sin(θ)∗cos(a′)+ρ∗cos(θ)∗sin(a′)=oldY∗cos(a′)+oldX∗sin(a′)=sin(a′)∗oldX+cos(a′)∗oldY

根据上式，可以推出变换矩阵为 matrix(cos(a’), sin(a’), -sin(a’), cos(a’), 0, 0)
( n e w X n e w Y 1 ) = ( c o s ( a ′ ) − s i n ( a ′ ) 0 s i n ( a ′ ) c o s ( a ′ ) 0 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( c o s ( a ′ ) ∗ o l d X − s i n ( a ′ ) ∗ o l d Y + 0 s i n ( a ′ ) ∗ o l d X + c o s ( a ′ ) ∗ o l d Y + 0 1 ) = ( ρ ∗ c o s ( a ′ ) ∗ c o s ( θ ) − ρ ∗ s i n ( a ′ ) ∗ s i n ( θ ) ρ ∗ s i n ( a ′ ) ∗ c o s ( θ ) + ρ ∗ c o s ( a ′ ) ∗ s i n ( θ ) 1 ) = ( ρ ∗ c o s ( θ + a ′ ) ρ ∗ s i n ( θ + a ′ ) 1 ) \begin{aligned} \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} cos(a') & -sin(a') & 0 \\ sin(a') & cos(a') & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} cos(a')*oldX-sin(a')*oldY+0 \\ sin(a')*oldX+cos(a')*oldY+0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \rho*cos(a')*cos(\theta)-\rho*sin(a')*sin(\theta) \\ \rho*sin(a')*cos(\theta)+\rho*cos(a')*sin(\theta) \\ 1 \\\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \rho*cos(\theta + a') \\ \rho*sin(\theta + a') \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛cos(a′)sin(a′)0−sin(a′)cos(a′)0001⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛cos(a′)∗oldX−sin(a′)∗oldY+0sin(a′)∗oldX+cos(a′)∗oldY+01⎠⎞=⎝⎛ρ∗cos(a′)∗cos(θ)−ρ∗sin(a′)∗sin(θ)ρ∗sin(a′)∗cos(θ)+ρ∗cos(a′)∗sin(θ)1⎠⎞=⎝⎛ρ∗cos(θ+a′)ρ∗sin(θ+a′)1⎠⎞

<div>  <h1>transform: rotate(a)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">   <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />      <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />     <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="rotate(30)"></rect>  </svg><h1>transform: matrix(cos(a'), sin(a'), -sin(a'), cos(a'), 0, 0)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">    <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />      <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />     <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(0.866025,0.5,-0.5,0.866025,0,0)"></rect> </svg>
</div>

⑦ transform: rotate(a, x, y)

当 rotate 函数被指定旋转点后，情况稍微复杂了一点。

由于函数本质上控制的是画布本身，也可以理解为坐标系本身。

所以，如果想要坐标系上的某一个图形围绕具体一个点旋转，则需要以下三个步骤：

第一、将旋转点从坐标系原点，移动至指定点；
第二、该指定点默认为坐标系原点，开始旋转；
第三、为了保持旋转时其他图案的不变，将坐标系原点从指定点移动回初始点位。

所以，通常指定点的旋转，会采用 <translate(x, y)><rotate(a)><translate(-x, -y)> 的方式。

translate 中的参数 x、y 即为 rotate(a, x, y) 中的指定点坐标。

那么这种情况，应当如何用 matrix 描述呢？

我们假设上述三个变换矩阵分别为：
{ t r a n s l a t e ( x , y ) = T 1 = ( 1 0 x 0 1 y 0 0 1 ) r o t a t e ( a ) = R = ( c o s ( a ′ ) − s i n ( a ′ ) 0 s i n ( a ′ ) c o s ( a ′ ) 0 0 0 1 ) t r a n s l a t e ( − x , − y ) = T 2 = ( 1 0 − x 0 1 − y 0 0 1 ) \begin{cases} translate(x,y)= T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ rotate(a) = R = \begin{pmatrix} cos(a') & -sin(a') & 0 \\ sin(a') & cos(a') & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ translate(-x,-y)=T_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x \\ 0 & 1 & -y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧translate(x,y)=T1=⎝⎛100010xy1⎠⎞rotate(a)=R=⎝⎛cos(a′)sin(a′)0−sin(a′)cos(a′)0001⎠⎞translate(−x,−y)=T2=⎝⎛100010−x−y1⎠⎞

则，根据函数执行方式可得矩阵计算方式为：
( n e w X n e w Y 1 ) = T 1 ∗ R ∗ T 2 ∗ ( o l d X o l d Y 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} = T_1 * R * T_2 * \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=T1∗R∗T2∗⎝⎛oldXoldY1⎠⎞

即：
M = T 1 ∗ R ∗ T 2 = ( 1 0 x 0 1 y 0 0 1 ) ( c o s ( a ′ ) − s i n ( a ′ ) 0 s i n ( a ′ ) c o s ( a ′ ) 0 0 0 1 ) ( 1 0 − x 0 1 − y 0 0 1 ) = ( c o s ( a ′ ) − s i n ( a ′ ) x s i n ( a ′ ) c o s ( a ′ ) y 0 0 1 ) ( 1 0 − x 0 1 − y 0 0 1 ) = ( c o s ( a ′ ) − s i n ( a ′ ) − x ∗ c o s ( a ′ ) + y ∗ s i n ( a ′ ) + x s i n ( a ′ ) c o s ( a ′ ) − x ∗ s i n ( a ′ ) − y ∗ c o s ( a ′ ) + y 0 0 1 ) \begin{aligned} M & = T_1 * R * T_2 \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos(a') & -sin(a') & 0 \\ sin(a') & cos(a') & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x \\ 0 & 1 & -y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} cos(a') & -sin(a') & x \\ sin(a') & cos(a') & y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x \\ 0 & 1 & -y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} cos(a') & -sin(a') & -x*cos(a')+y*sin(a')+x \\ sin(a') & cos(a') & -x*sin(a')-y*cos(a')+y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} M=T1∗R∗T2=⎝⎛100010xy1⎠⎞⎝⎛cos(a′)sin(a′)0−sin(a′)cos(a′)0001⎠⎞⎝⎛100010−x−y1⎠⎞=⎝⎛cos(a′)sin(a′)0−sin(a′)cos(a′)0xy1⎠⎞⎝⎛100010−x−y1⎠⎞=⎝⎛cos(a′)sin(a′)0−sin(a′)cos(a′)0−x∗cos(a′)+y∗sin(a′)+x−x∗sin(a′)−y∗cos(a′)+y1⎠⎞

也就是说，变换矩阵为：
matrix(cos(a’), sin(a’), -sin(a’), cos(a’), -xcos(a’)+ysin(a’)+x, -xsin(a’)-ycos(a’)+y)**

( n e w X n e w Y 1 ) = ( c o s ( a ′ ) − s i n ( a ′ ) − x ∗ c o s ( a ′ ) + y ∗ s i n ( a ′ ) + x s i n ( a ′ ) c o s ( a ′ ) − x ∗ s i n ( a ′ ) − y ∗ c o s ( a ′ ) + y 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(a') & -sin(a') & -x*cos(a')+y*sin(a')+x \\ sin(a') & cos(a') & -x*sin(a')-y*cos(a')+y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛cos(a′)sin(a′)0−sin(a′)cos(a′)0−x∗cos(a′)+y∗sin(a′)+x−x∗sin(a′)−y∗cos(a′)+y1⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞

<div>  <h1>transform: rotate(a, x, y)</h1> <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">    <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />      <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />    <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="rotate(30,0,100)"></rect>  </svg><h1>transform: matrix(cos(a'), sin(a'), -sin(a'), cos(a'), -x*cos(a')+y*sin(a')+x, -x*sin(a')-y*cos(a')+y)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">   <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />      <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />       <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(0.866025, 0.5, -0.5, 0.866025, 50.0, 13.39746)"></rect> </svg>
</div>

⑧ transform: skewX(a)

skewX 表示的是 x 轴方向上的倾斜，同样这里将使用三角函数，也同样的，存在弧度制下的：
a ′ = π 180 ∗ a a'=\frac{\pi}{180}*a a′=180π∗a

由于倾斜只发生在 x 轴方向，由此可得：

{ n e w X = Δ x + o l d X = t a n ( a ′ ) ∗ o l d Y + o l d X n e w Y = o l d Y \begin{cases} newX = \Delta x + oldX = tan(a')*oldY + oldX\\ newY = oldY \end{cases} {newX=Δx+oldX=tan(a′)∗oldY+oldXnewY=oldY

故，变换函数为 matrix(1, 0, tan(a’), 1, 0, 0)
( n e w X n e w Y 1 ) = ( 1 t a n ( a ′ ) 0 0 1 0 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( 1 ∗ o l d X + t a n ( a ′ ) ∗ o l d Y + 0 0 ∗ o l d X + 1 ∗ o l d Y + 0 1 ) = ( t a n ( a ′ ) ∗ o l d Y + o l d X o l d Y 1 ) \begin{aligned} \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 & tan(a') & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1*oldX+tan(a')*oldY+0 \\ 0*oldX+1*oldY+0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} tan(a')*oldY + oldX\\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛100tan(a′)10001⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛1∗oldX+tan(a′)∗oldY+00∗oldX+1∗oldY+01⎠⎞=⎝⎛tan(a′)∗oldY+oldXoldY1⎠⎞

<div>   <h1>transform: skewX(a)</h1>   <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">     <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />    <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />     <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="skewX(30)"></rect>   </svg><h1>transform: matrix(1, 0, tan(a'), 1, 0, 0)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">   <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />     <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />     <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0,0.577350,1,0,0)"></rect>  </svg>
</div>

⑨ transform: skewY(a)

skewY 表示的是 y 轴方向的倾斜，原理同上：
{ n e w X = o l d X n e w Y = Δ y + o l d Y = t a n ( a ′ ) ∗ o l d X + o l d Y \begin{cases} newX = oldX \\ newY = \Delta y + oldY = tan(a')*oldX + oldY \\ \end{cases} {newX=oldXnewY=Δy+oldY=tan(a′)∗oldX+oldY

可得变换函数 matrix(1, tan(a’), 0, 1, 0, 0)

( n e w X n e w Y 1 ) = ( 1 0 0 t a n ( a ′ ) 1 0 0 0 1 ) ( o l d X o l d Y 1 ) = ( 1 ∗ o l d X + 0 ∗ o l d Y + 0 t a n ( a ′ ) ∗ o l d X + 1 ∗ o l d Y + 0 1 ) = ( o l d X t a n ( a ′ ) ∗ o l d X + o l d Y 1 ) \begin{aligned} \begin{pmatrix} newX \\ newY \\ 1 \\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ tan(a') & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} oldX \\ oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1*oldX + 0*oldY + 0 \\ tan(a')*oldX+1*oldY + 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} oldX\\ tan(a')*oldX+oldY \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned} ⎝⎛newXnewY1⎠⎞=⎝⎛1tan(a′)0010001⎠⎞⎝⎛oldXoldY1⎠⎞=⎝⎛1∗oldX+0∗oldY+0tan(a′)∗oldX+1∗oldY+01⎠⎞=⎝⎛oldXtan(a′)∗oldX+oldY1⎠⎞

<div>   <h1>transform: skewY(a)</h1>   <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">     <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />      <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />     <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="skewY(30)"></rect>  </svg><h1>transform: matrix(1, tan(a'), 0, 1, 0, 0)</h1>  <svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">    <line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />     <line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />      <rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0.577350,0,1,0,0)"></rect>  </svg>
</div>

综上，就是 transform 全部函数的计算方式了。

或者也可以认为是它的矩阵运算描述。

当然，代码实现的时候可能会为了减少不必要的矩阵运算，从而做了最优化处理。但是理解它的运算原理，清楚底层的计算逻辑，却是十分有益的。

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