惯性导航算法(五)-等效旋转矢量+双子样算法
文章目录
- 等效旋转矢量
- 转动的不可交换性
- 转动的不可交换性与惯性导航有何关系?
- 等效旋转矢量
- 等效旋转矢量多子样算法的理论基础
- 等效旋转矢量微分方程
- 等效旋转矢量微分方程的工程近似
- 等效旋转矢量的双子样算法
等效旋转矢量
转动的不可交换性
力学中刚体的有限次转动是不可交换的。转动的不可交换性
决定了转动不是矢量,即两次以上的不同轴转动不能相加。
对一个空间方向随时间变化的角速度矢量进行积分是没有物
理意义的
上图两个极端的例子说明,不能根据陀螺输出的角增量来判断实际的姿态变化,因为姿态变化具有不可交换性,不但要知道角增量,还要知道旋转过程是怎样的,才能确定姿态变化;也就是说角度增量不靠谱(Case1
和Case2
最终姿态不同,但是角增量却相等),因此就要引入等效旋转矢量,他是一个定轴旋转,Case1
和Case2
对应的等效旋转矢量就肯定是不同的了,也就是确定性的量
转动的不可交换性与惯性导航有何关系?
陀螺在输出角增量时只对各轴的角度变化量做了数值累加,
并未考虑角速度Wib
向量在采样间隔内的方向变化,因此陀
螺角增量输出没有
明确的物理含义。
等效旋转矢量
1.理论基础:一个坐标系到另一个坐标系的变换可以通过多次
转动来完成,也可以通过绕一个定义在参考坐标系中的矢量
的单次转动来实现。
2.该矢量称作等效旋转矢量(rotation vector
)是一个三元素的
向量,旋转矢量的方向给出了转动轴的方向,它的模长为转
动角度的大小。又称为轴角(axis-angle
)
等效旋转矢量表示两个坐标系间的转动关系,可转换为对应的方向余弦矩阵
和姿态四元数
,完成姿态更新
1.Rodrigues 旋转公式
2.姿态四元数的三角函数式
3.满足DCM
(方向余弦矩阵)和四元数微分方程求解所要求的“定轴旋转”条件,理论上可完美补偿不可交换性误差。
注:问题的关键在于如何利用陀螺输出构造等效旋转矢量。
等效旋转矢量多子样算法的理论基础
1969年,John E. Bortz
在其博士论文中详细推导了等效旋转矢量微分方程(Bortz
方程),该方程是利用陀螺输出
求解等效旋转矢量的基本公式,奠定了等效旋转矢量多子样算法的理论基础。
等效旋转矢量微分方程
可用几何的方法或根据四元数的微分方程来推导等效旋
转矢量的微分方程式,即Bortz
方程
1.等效旋转矢量常用于表示姿态的变化量。
2.Bortz
方程等式右边两项补偿了角速度向量的方向变化
3.如果真的旋转过程是定轴旋转的话,那么角速度与旋转的角度变化肯定平行,那么叉乘为0,后两项都为0,这样Bortz
方程就退化成了我们之前直观以为的,角度变化的微分就等于角速度
等效旋转矢量微分方程的工程近似
注:这里是做了—个近似,将等效旋转矢量替换为角度增量,因为等效旋转矢量是小量,它和角度增量又是—个微小的差异,因此这个差异就是二阶小量,可以忽略
等效旋转矢量的双子样算法
因为姿态更新用到了两个历元的角增量,因此叫双子样算法
由上图可得角速度表达式(我们假设角速度变化是线性的(原来我们认为角速度方向不变),而不再是之前定轴假设的不变量),角增量表达式可由下图推导出:
由上图可知,我们之前的定轴假设实际上就是把二阶圆锥误差补偿项给漏掉了;之所以叫二阶圆锥误差补偿,是因为当载体做圆锥运动的时候,这一项显得格外突出,因此而命名
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