Unity求一条直线与平面的交点

这个是面试官经常考的一个问题，我们先把它变成一个数学问题。

已知一个平面上的一点P0和法向量n，一条直线上的点L0和方向L,求该直线与该平面的交点P

如下图

首先我们分析一下我们知道平面和直线的法向量，知道平面和直线上的一点，求直线与平面上的交点p。

这里我们就要引入点积的概念。点积的几何意义(百度百科直接粘的)

设二维空间内有两个向量

和

，它们的夹角为

，则内积定义为以下实数： [2]

该定义只对二维和三维空间有效。

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

简单点来说当我们使用Vector3.Dot来处理两个标准化的向量的时候会得到两个向量角度的COS值。

也就是说如果两个向量垂直的话，cos值为0，也就是说两个向量垂直的话点积为0.

而p和po组成的直线肯定与平面法向量n垂直。

这里我们就能推倒出已知的公式1：(p-p0)*n=0

而由于交点p是属于直线上的一点，所以我们能推倒出公式2:P=L0+dL;

然后我们把公式2导入到公式1得到：

(L0+dL-P0)*n=0

(L0-P0)*n+dL*n=0(点乘满足分配率)

(p0-L0)*n=dL*n

d=(p0-L0)*n/L*n(点乘满足结合律)

只要我们求出d的值带入公式2就能求出交点P.

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最后又引申出一个问题，如果这个平面是有边界的，那么我们就还得求一下这个平面是否与直线相交。

这里我用了个简单方法。首先你必须知道这个平面所有的顶点，然后这个多边形必须是凸多边形。

那么它必定满足如下规律，如图

如果该点位于平面内，那么由改点到顶点组成的向量之间的夹角之和必定等于360度，

如果位于平面外，那么由改点到顶点组成的向量之间的夹角之和必定小于360度，

所以我们只要求出夹角之和就能求出改点是否位于平面内。

当然这个只适用于凸多边形，如果有更好地办法，欢迎评论讨论。

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我在Unity中自己创建了一个三角面mesh，然后自己设置一条直线。求交点P，然后赋予小球这个位置。

在三角面内为红色，在三角面外围蓝色。以下是实现截图。

实现代码

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;public class S001 : MonoBehaviour
{public Material mat;//三角形材质private Mesh mesh;//三角形meshprivate GameObject GoSphere;//交点private Vector3 vecLinePoint;//直线的方向//面需要的点private List<Vector3> vertices = new List<Vector3>();//生成三边面时用到的vertices和indexprivate List<int> triangles = new List<int>();//直线public List<Vector3> veclines;void OnDrawGizmos(){if (veclines.Count > 1){Gizmos.DrawLine(veclines[0], veclines[1]);}}private void Awake(){this.gameObject.AddComponent<MeshFilter>();this.gameObject.AddComponent<MeshRenderer>();mesh = new Mesh();AddFrontFace();//为点和index赋值mesh.vertices = vertices.ToArray();mesh.triangles = triangles.ToArray();//重新计算顶点和法线mesh.RecalculateBounds();mesh.RecalculateNormals();//将生成的面赋值给组件GetComponent<MeshFilter>().mesh = mesh;GetComponent<MeshRenderer>().material = mat;print(mesh.normals[0]);//直线的两个点veclines.Add(new Vector3(0,1,-10));veclines.Add(new Vector3(0.11f,0.36f,3));GoSphere = GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Sphere);GoSphere.transform.localScale = new Vector3(0.05f, 0.05f, 0.05f);}float i = 0;void Update(){if (i > 2){vecLinePoint = (veclines[1] - veclines[0]);//计算直线的方向Vector3 vec = GetIntersectWithLineAndPlane(veclines[0], vecLinePoint, mesh.normals[0], mesh.vertices[0]);//print(vec.x+"*******"+vec.y+"*********"+vec.z);GoSphere.transform.position = vec;//赋值bool k = IsVecPosPlane(mesh.vertices, vec);//交点是否在多边形内部if (k)//如果在范围内是红色，在范围外是蓝色{GoSphere.GetComponent<Renderer>().material.color = Color.red;}else{GoSphere.GetComponent<Renderer>().material.color = Color.blue;}print(k);//计算位置i = 0;}else{i += Time.deltaTime;}}/// <summary>/// 计算直线与平面的交点/// </summary>/// <param name="point">直线上某一点</param>/// <param name="direct">直线的方向</param>/// <param name="planeNormal">垂直于平面的的向量</param>/// <param name="planePoint">平面上的任意一点</param>/// <returns></returns>private Vector3 GetIntersectWithLineAndPlane(Vector3 point, Vector3 direct, Vector3 planeNormal, Vector3 planePoint){float d = Vector3.Dot(planePoint - point, planeNormal) / Vector3.Dot(direct.normalized, planeNormal);//print(d);return d * direct.normalized + point;}/// <summary>/// 确定坐标是否在平面内/// </summary>/// <returns></returns>private bool IsVecPosPlane(Vector3[] vecs, Vector3 pos){float RadianValue = 0;Vector3 vecOld = Vector3.zero;Vector3 vecNew = Vector3.zero;for (int i = 0; i < vecs.Length; i++){if (i == 0){vecOld = vecs[i] - pos;}if (i == vecs.Length - 1){vecNew = vecs[0] - pos;}else{vecNew = vecs[i + 1] - pos;}RadianValue += Mathf.Acos(Vector3.Dot(vecOld.normalized, vecNew.normalized)) * Mathf.Rad2Deg;vecOld = vecNew;}if (Mathf.Abs(RadianValue - 360) < 0.1f){return true;}else{return false;}//vecOld = vecs[0] - pos;//vecNew = vecs[1] - pos;//RadianValue += Mathf.Acos(Vector3.Dot(vecOld.normalized, vecNew.normalized)) * Mathf.Rad2Deg;//vecOld = vecs[1] - pos;//vecNew = vecs[2] - pos;//RadianValue += Mathf.Acos(Vector3.Dot(vecOld.normalized, vecNew.normalized)) * Mathf.Rad2Deg;//vecOld = vecs[2] - pos;//vecNew = vecs[0] - pos;//RadianValue += Mathf.Acos(Vector3.Dot(vecOld.normalized, vecNew.normalized)) * Mathf.Rad2Deg;}void AddFrontFace(){//添加4个点vertices.Add(new Vector3(0, 0, 0));vertices.Add(new Vector3(0, 1, 0));vertices.Add(new Vector3(1, 0, 0));triangles.Add(0);triangles.Add(1);triangles.Add(2);}
}

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