求解直线与平面的交点

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前言

直线与平面的交点求解相关的内容在网上已经有很多资料进行介绍,目前所看到的博文在数学模型建立上都是正确的,但是其编程实现却存在问题,导致只有部分情况下能够正确求出直线与平面的交点,另外一些情况下求出的交点却是错误的.本文对原理进行推导并实现正确的编码.

数学模型推导

已知经过两点 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2) P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的直线与平面 a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0 ax+by+cz+d=0相交于点P,求点P的坐标.
该问题几何模型如下:

求解该问题的一种方法是建立方程组,联立求解点的坐标.该方法在数学实现上非常直观,但是求方程组的解稍微麻烦.

另一种是通过向量法进行求解.推导过程如下:
设 m = P 1 P → P 1 P 2 → , 则 O P → = O P 1 → + P 1 P → = O P 1 → + m ∗ P 1 P 2 → 设 m = \frac{\overrightarrow {P_1P}}{\overrightarrow{P_1P_2}},则 \\ \overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OP_1} + \overrightarrow {P_1P} =\overrightarrow {OP_1} + m*\overrightarrow {P_1P_2} 设m=P1P2 P1P ,则OP =OP1 +P1P =OP1 +m∗P1P2
其中:
m = P 1 P → P 1 P 2 → = P 1 D → P 1 D 2 → = ∣ P 1 D → ∣ ∣ P 1 D 2 → ∣ m = \frac{\overrightarrow {P_1P}}{\overrightarrow{P_1P_2}} = \frac{\overrightarrow {P_1D}}{\overrightarrow{P_1D_2}} = \frac{\lvert \overrightarrow {P_1D}\rvert } {\lvert \overrightarrow{P_1D_2} \rvert} m=P1P2 P1P =P1D2 P1D =∣P1D2 ∣∣P1D ∣
而
∣ P 1 D → ∣ \lvert \overrightarrow {P_1D}\rvert ∣P1D ∣为点P1到平面的距离,计算公式如下:
∣ P 1 D → ∣ = ∣ a x 1 + b y 1 + c z 1 + d ∣ a 2 + b 2 + c 2 \lvert \overrightarrow {P_1D}\rvert = \frac{\lvert {ax_1+by_1+cz_1+d} \rvert} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}} ∣P1D ∣=a2+b2+c2 ∣ax1+by1+cz1+d∣
另外:
∣ P 1 D 2 → ∣ = ∣ P 1 P 2 → ∣ c o s θ = ∣ P 1 P 2 → ∣ ∗ ∣ P 1 P 2 → ⋅ P 1 D 2 → ∣ ∣ P 1 P 2 → ∣ ∣ P 1 D 2 → ∣ = ∣ P 1 P 2 → ⋅ P 1 D 2 → ∣ P 1 D 2 → ∣ ∣ {\lvert \overrightarrow{P_1D_2} \rvert} = {\lvert \overrightarrow{P_1P_2} \rvert}cos{\theta} = {\lvert \overrightarrow{P_1P_2} \rvert} * \frac{\lvert{\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1D_2} } \rvert} {\lvert{\overrightarrow{P_1P_2}} \rvert \lvert{\overrightarrow{P_1D_2}} \rvert} \\ =\lvert{ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot \frac{\overrightarrow{P_1D_2}}{\lvert{\overrightarrow{P_1D_2}} \rvert} } \rvert ∣P1D2 ∣=∣P1P2 ∣cosθ=∣P1P2 ∣∗∣P1P2 ∣∣P1D2 ∣∣P1P2 ⋅P1D2 ∣=∣P1P2 ⋅∣P1D2 ∣P1D2 ∣

显然, P 1 D 2 → ∣ P 1 D 2 → ∣ \frac{\overrightarrow{P_1D_2}}{\lvert{\overrightarrow{P_1D_2}} \rvert} ∣P1D2 ∣P1D2 表示平面的单位法向量,其用坐标的形式表示如下:
P 1 D 2 → ∣ P 1 D 2 → ∣ = ( a , b , c ) a 2 + b 2 + c 2 \frac{\overrightarrow{P_1D_2}}{\lvert{\overrightarrow{P_1D_2}} \rvert} = \frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} ∣P1D2 ∣P1D2 =a2+b2+c2 (a,b,c)
因此:
∣ P 1 D 2 → ∣ = ∣ P 1 P 2 → ⋅ P 1 D 2 → ∣ P 1 D 2 → ∣ ∣ = P 1 D 2 → ∣ P 1 D 2 → ∣ = ∣ a ( x 2 − x 1 ) + b ( y 2 − y 1 ) + c ( z 2 − z 1 ) a 2 + b 2 + c 2 ∣ {\lvert \overrightarrow{P_1D_2} \rvert} = \lvert{ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot \frac{\overrightarrow{P_1D_2}}{\lvert{\overrightarrow{P_1D_2}} \rvert} } \rvert = \frac{\overrightarrow{P_1D_2}}{\lvert{\overrightarrow{P_1D_2}} \rvert} \\ = \lvert{ \frac{a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} } \rvert ∣P1D2 ∣=∣P1P2 ⋅∣P1D2 ∣P1D2 ∣=∣P1D2 ∣P1D2 =∣a2+b2+c2 a(x2−x1)+b(y2−y1)+c(z2−z1)∣

综上,可得:
m = ∣ P 1 D → ∣ ∣ P 1 D 2 → ∣ = ∣ a x 1 + b y 1 + c z 1 + d a ( x 2 − x 1 ) + b ( y 2 − y 1 ) + c ( z 2 − z 1 ) ∣ O P → = O P 1 → + P 1 P → = O P 1 → + m ∗ P 1 P 2 → 或 ( x , y , z ) = ( x 1 , y 1 , z 1 ) + m ∗ ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) m = \frac{\lvert \overrightarrow {P_1D}\rvert } {\lvert \overrightarrow{P_1D_2} \rvert} = \lvert{\frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)} } \rvert \\ \overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OP_1} + \overrightarrow {P_1P} =\overrightarrow {OP_1} + m*\overrightarrow {P_1P_2} \\ 或 (x,y,z) = (x_1,y_1,z_1) + m*(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) m=∣P1D2 ∣∣P1D ∣=∣a(x2−x1)+b(y2−y1)+c(z2−z1)ax1+by1+cz1+d∣OP =OP1 +P1P =OP1 +m∗P1P2 或(x,y,z)=(x1,y1,z1)+m∗(x2−x1,y2−y1,z2−z1)

编程实现

/*!* 求直线与平面的交点* @param p1* @param p2 直线经过的两点p1,p2* @param plane 平面参数 ax+by+cz+d=0* @param crossP 交点* @return true--直线与平面相交;false--直线与平面平行(或者位于平面内)* @author liheng*/
bool GetLinePlaneCrossP(Eigen::Vector3f p1,Eigen::Vector3f p2,const Eigen::Vector4f& plane,Eigen::Vector3f& crossP)
{//求分子P1Dauto P1D = plane[0]*p1[0] + plane[1]*p1[1] + plane[2]*p1[2]+plane[3];//ax1+by1+cz1+d//or采用向量点乘方式P1D = std::abs( P1D );auto P2D = plane[0]*p2[0] + plane[1]*p2[1] + plane[2]*p2[2]+plane[3];P2D = std::abs( P2D );//保证P2离平面比较近if( P1D<P2D ){std::swap(p1,p2);//点交换P1D = P2D;//距离交换}const Eigen::Vector3f P1P2 = p2-p1;//求分母P1D2auto P1D2 = plane[0]*P1P2[0] + plane[1]*P1P2[1] + plane[2]*P1P2[2];P1D2 = std::abs(P1D2);if( P1D2<FLT_EPSILON )return false;//平行auto m = P1D/P1D2;crossP = p1 + m*P1P2;return true;
}下面函数同样可以
///*!
// * 求直线与平面的交点
// * @param p1
// * @param p2 直线经过的两点p1,p2
// * @param plane 平面参数 ax+by+cz+d=0
// * @param crossP 交点
// * @return true--直线与平面相交;false--直线与平面平行(或者位于平面内)
// * @author liheng
// */
//bool GetLinePlaneCrossP(const Eigen::Vector3f& p1,const Eigen::Vector3f& p2,const Eigen::Vector4f& plane,Eigen::Vector3f& crossP)
//{
//    //求分子P1D
//    auto P1D = plane[0]*p1[0] + plane[1]*p1[1] + plane[2]*p1[2]+plane[3];//ax1+by1+cz1+d//or采用向量点乘方式
//
//    const Eigen::Vector3f P1P2 = p2-p1;
//
//    //求分母P1D2
//    auto P1D2 = plane[0]*P1P2[0] + plane[1]*P1P2[1] + plane[2]*P1P2[2];
//    if( std::abs(P1D2)<FLT_EPSILON )
//        return false;//平行
//
//    auto m = P1D/P1D2;
//    crossP = p1 - m*P1P2;//注意:此处是 负号- 同时求m时无绝对值符号
//
//    return true;
//}int main(int argc, char ** argv )
{Eigen::Vector3f p1(0,0,5),p2(0,0,-10),crossP;Eigen::Vector4f plane(0,0,1,0);//z=0GetLinePlaneCrossP(p1,p2,plane,crossP);std::cout<<"crossP:"<<crossP<<std::endl;return 0;
}

上面的2个函数均可以求出直线与平面交点.不论输入的两点在平面两侧或位于平面同一侧,以及两点到平面的距离排序.

粗略的python版本如下

#!/usr/bin/env python3
#coding=utf-8#============================#
#Program:main.py
#
#Date:20-6-23
#Author:liheng
#Version:V1.0
#============================#import numpy as npx1,y1,z1 = 0,0,10
x2,y2,z2 = 0,0,5
a,b,c,d = 0,0,1,0# p1 = np.array([x1,y1,z1])#
# p2 = np.array([x2,y2,z2])
# plane_normal = np.array([a,b,c]) #a,b,c,d平面方程系数
#
# P1D = np.vdot(p1,plane_normal)+d
# P1D = np.abs(P1D)
#
# P2D = np.vdot(p2,plane_normal)+d
# P2D = np.abs(P2D)
#
# if P1D<P2D:#点1靠近平面,交换点1 2
#     p1,p2 = p2,p1
#     P1D = P2D
#
# P1D2 = np.vdot(p2-p1,plane_normal)
# P1D2 = np.abs(P1D2)
#
# n = P1D / P1D2
# p = p1 + n*(p2- p1)#所求交点
# print(p)//or
p1 = np.array([x1,y1,z1])#
p2 = np.array([x2,y2,z2])
plane_normal = np.array([a,b,c]) #a,b,c,d平面方程系数P1D = np.vdot(p1,plane_normal)+d
P1D2 = np.vdot(p2-p1,plane_normal)n = P1D / P1D2
p = p1 - n*(p2- p1)#所求交点
print(p)

参考资料

1求直线与平面的交点
2.空间内直线于平面交点