1007 素数对猜想

一、题目

让我们定义 dnd_ndn 为 dn=pn+1−pnd_n=p_{n+1}-p_ndn=pn+1−pn，其中 pip_ipi 是第 iii 个素数。显然有 d1=1d_1=1d1=1，且对于 n>1n>1n>1有 dnd_ndn 是偶数。“素数对猜想” 认为 “存在无穷多对相邻且差为2的素数”。
现给定任意正整数N(<105)(<10^5)(<105)，请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。

二、输入输出

输入格式

输入在一行给出正整数N。

输出格式

在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。

三、样例

输入样例

20

输出样例

4

四、题目分析

简单的按照模拟的方法，遍历完所有数值对，对每个数值进行判断，可以解决。但是效率不高，可以进行如下优化：

所有的素数对都为奇数，循环步长设为2；
最小的素数对为（3，5），循环初始值设为5；
无需对同一个数值进行两次素数判断，可以设置两个布尔变量保存上一数值的判断结果。

五、代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int count=0;int n;cin>>n;bool num1=true,num2=true;for(int i=5;i<=n;i=i+2){num2=true;for(int j=2;j<sqrt(i)+1;j++){if(i%j==0){num2=false;break;}}if(num1&&num2)count++;num1=num2;}cout<<count;return 0;
}

六、总结

素数的判断：
```
for (int j = 2; j < sqrt(i) + 1; j++)
{if (i % j == 0){num2 = false;break;}
}
```
循环从2开始，到sqrt(i) + 1，防止浮点误差导致将一些完全平方数（除1和自身以外只含有一个质数因子，如9、25…）判断为素数。
例如 i = 9：
sqrt(i)为2.99999，若是只循环至sqrt(i)，无法对因数3进行判断，因此将9误判为素数。

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