线性代数-线性转化和矩阵

线性转化

转化的直观理解

转化是函数映射的另一种表达，与函数一样，转化通过计算，将输入映射到输出：

52−3→f(x)→2549\begin{matrix}5\\2\\-3\end{matrix}\to f(x)\to\begin{matrix}25\\4\\9\end{matrix}52−3→f(x)→2549

将输入输出都用向量的形式来表示：

[57]Vectorinput→L(V→)→[2−3]Vectoroutput\begin{matrix}\begin{bmatrix}5\\7\\\end{bmatrix}\\Vector\,input\end{matrix}\to L(\overrightarrow{V})\to\begin{matrix}\begin{bmatrix}2\\-3\\\end{bmatrix}\\Vector\,output\end{matrix}[57]Vectorinput→L(V)→[2−3]Vectoroutput

转化这个词暗含着运动这一概念，像下面这个例子，两个向量分别是转化的输入和输出：

我们可以想象这个运动的过程：

为了从整体来理解这个运动的概念，我们可以假设在二维空间中的每一个向量都进行这这样的运动过程：

我们将每个向量抽象为一个点，这个点就是之前箭头的顶点，这样可以更直观地理解转化过程：

此时对于空间中的任何一个向量进行的一次转化，都可以理解为现在每个向量抽象成的点转化为另一个点。

在二维空间时，为了对整个转化的“形状”有更好的理解，我们可以将整个空间抽象成一个二维的表格：

保留原表格有助于我们追踪变化的开始和结束：

线性的限定条件

转化可以很复杂，但是线性代数将转化局限在了linear（线性）这一类型。

一个线性转化有如下两个性质：

所有的直线在转化后仍需保证为直线，不能变为曲线
原点必须维持原位

如下的例子中，直线转化变为了曲线，因此不是线性转化：

而在下面的例子中，原点发生了改变，因此也不是线性转化：

经由上面两个性质可以得到，线性变化后的网格会保持平行和均匀分布：

虽然有些的线性变化可以用语言描述，比如旋转等。但大部分线性变化还是很难用语言来形容，因此需要用一些数字特性来描述线性变化的过程。这个数字特性可以用i→\overrightarrow{i}i和j→\overrightarrow{j}j的变化来表示。其他所有的变化都和这两个基础向量有关。

假设我们存在如下一个向量v→\overrightarrow{v}v：

现在我们进行线性变换并追踪这三个变量（包括两个基向量）的变化：

因为表格现在还是平行和均匀分布的，所以我们可以发现一个很重要的规律：

对于转化后的两个基向量和v→\overrightarrow{v}v ，他们之前的线性关系现在仍然存在。这意味着可以从变化后的i→\overrightarrow{i}i和j→\overrightarrow{j}j 推断出v→\overrightarrow{v}v

而转化后的i→\overrightarrow{i}i和j→\overrightarrow{j}j对应于之前的基向量可以得到如下的关系：

所以对于原基向量表示下的任何向量，只要知道转化后的基向量的坐标，就可以推导出转化后的任何向量的坐标：

还是以上图为例子，假如转化后：

i→→[1−2]j→→[30]\overrightarrow{i}\to\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\qquad\overrightarrow{j}\to\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}i→[1−2]j→[30]

现在对于任何的向量(x,y)(x,y)(x,y)，都有如下的转化过程成立：

[xy]→x[1−2]+y[30]=[1x+3y−2x+0y]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\to x\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1x+3y\\-2x+0y\end{bmatrix}[xy]→x[1−2]+y[30]=[1x+3y−2x+0y]

所以现在给定任何一个向量，都可以用上面的等式来计算得到转化后的向量。

从上面的讨论，我们可以看出一个二维的线性转化过程可以由四个数字来表示，那就是i→\overrightarrow{i}i和j→\overrightarrow{j}j转化后的坐标[1−2]\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}[1−2]和[30]\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}[30]

将这个两个坐标打包成一个2*2的矩阵，我们可以得到[32−21]\begin{bmatrix}3&&2\\-2&&1\end{bmatrix}[3−221]

通用情况：

实例动态图演示：

所以当以后我们遇到一个矩阵的时候，我们可以将这个矩阵解释为一种特定的转化