最大熵图像复原方法原理(附完整代码)

对图像复原问题加以最大熵约束的归整化恢复方法称为图像的最大熵恢复，它是一种非线性的方法，在图像恢复领域中有着重要的影响。最大熵方法要求恢复的图像在满足成像公式的前提下熵最大。也即在图像恢复问题的所有可行解中，选择熵最大的那一个作为最终的解。

原理

假设原始图像为xxx降质图像为yyy，成像系统的点扩展函数(PSF)为hhh，则降质过程可表示为：

y=h×x+ny=h\times x+n y=h×x+n

其中nnn为系统的加性噪声。再记图像的熵S(x)S(x)S(x)，那么最大熵图像恢复问题的一般描述如下公式所示：

maxS(x)st.y=h×x+nmax\ S(x)\\ st. \ y=h \times x +n max S(x)st. y=h×x+n

设整个观测图像yyy有个MMM像元，目标图像xxx有个NNN像元，且：

∑i=1Nxi=1∑i=1Nxihk,i=yk,1≤k≤M\sum_{i=1}^{N}x_{i}=1 \\ \sum_{i=1}^{N}x_{i}h_{k,i}=y_{k}, \ 1 \leq k \leq M i=1∑Nxi=1i=1∑Nxihk,i=yk, 1≤k≤M

这里不将噪声考虑在内。最大熵方法要求在满足上述两个公式两项约束的前提下使得图像的熵最大。运用Lagrange乘子法可以解得：

xi=exp(−λ0−∑k=1Mλkhk,j)=exp(−∑k=1M)λkhk,lZ(λ1,λ2,⋅⋅⋅λM)x_{i}=exp(-\lambda_{0}-\sum_{k=1}^{M}\lambda_{k}h_{k,j}) \\ =\frac{exp(-\sum_{k=1}^{M}) \lambda_{k}h_{k,l}}{Z(\lambda_{1},\lambda_{2},···\lambda_{M})} xi=exp(−λ0−k=1∑Mλkhk,j)=Z(λ1,λ2,⋅⋅⋅λM)exp(−∑k=1M)λkhk,l

其中λ0=lnZ(λ1,λ2,⋅⋅⋅λM)\lambda_{0}=lnZ(\lambda_{1},\lambda_{2},···\lambda_{M})λ0=lnZ(λ1,λ2,⋅⋅⋅λM)，λ1,λ2⋅⋅⋅λM\lambda_{1},\lambda_{2}···\lambda_{M}λ1,λ2⋅⋅⋅λM，为Lagrange乘子。

Z=exp(λ0)=∑i=1Nexp(−∑k=1Mλkhk,i)Z=exp(\lambda_{0})=\sum_{i=1}^{N}exp(-\sum_{k=1}^{M}\lambda_{k}h_{k,i}) Z=exp(λ0)=i=1∑Nexp(−k=1∑Mλkhk,i)

上面刚说的这个公式为配分函数，结合上述可以得到：

−∂ln⁡Z∂λk+yk=0k=1,2⋯M-\frac{\partial \ln Z}{\partial \lambda_{k}}+y_{k}=0 \quad k=1,2 \cdots M −∂λk∂lnZ+yk=0k=1,2⋯M

或：
∑i=1N(hk,i−yk)exp⁡(−∑s=1Mλshs,i)=0k=1,2⋯M\sum_{i=1}^{N}\left(h_{k, i}-y_{k}\right) \exp \left(-\sum_{s=1}^{M} \lambda_{s} h_{s, i}\right)=0 \quad k=1,2 \cdots M i=1∑N(hk,i−yk)exp(−s=1∑Mλshs,i)=0k=1,2⋯M

将求得的xix_{i}xi回代到约束方程中得到M+1M+1M+1个关于Lagrange乘子λk\lambda_{k}λk的方程。为避免这个非线性方程组的直接求解。引入势函数：

F=λ0+∑k=1MλkykF=\lambda_{0}+\sum_{k=1}^{M} \lambda_{k} y_{k} F=λ0+k=1∑Mλkyk

对FFF求关于λk\lambda_{k}λk的偏导数并令之为零即可，得到：

Gk=∂F∂λk=−∑i=1Nxihk,i+yk=0G_{k}=\frac{\partial F}{\partial \lambda_{k}}=-\sum_{i=1}^{N} x_{i} h_{k, i}+y_{k}=0 Gk=∂λk∂F=−i=1∑Nxihk,i+yk=0

采用逐次逼近的方法，用下面的迭代公式求解：

λk(new)=λold−Gk,k=1,2,⋅⋅⋅M\lambda_{k}(new)=\lambda_{old}-G_{k}, \ k=1,2,···M λk(new)=λold−Gk, k=1,2,⋅⋅⋅M

初始迭代从均匀的λk\lambda_{k}λk开始(此时熵最大)，求得xix_{i}xi，而后利用式Gk=∂F∂λk=−∑i=1Nxihk,i+yk=0G_{k}=\frac{\partial F}{\partial \lambda_{k}}=-\sum_{i=1}^{N} x_{i} h_{k, i}+y_{k}=0Gk=∂λk∂F=−∑i=1Nxihk,i+yk=0求新的λk\lambda_{k}λk，然后再按公式(2-11)求新的，依次迭代下去，直至趋于收敛。采用公式λk(new)=λold−Gk,k=1,2,⋅⋅⋅M\lambda_{k}(new)=\lambda_{old}-G_{k}, \ k=1,2,···Mλk(new)=λold−Gk, k=1,2,⋅⋅⋅M可以使得迭代加速收敛：

λk(new)=λk(old)−ln⁡[ykyk−Gk]k=1,2⋯M\lambda_{k}(n e w)=\lambda_{k}(o l d)-\ln \left[\frac{y_{k}}{y_{k}-G_{k}}\right] \quad k=1,2 \cdots M λk(new)=λk(old)−ln[yk−Gkyk]k=1,2⋯M

代码

为了验证算法的有效性，本文先用Circuit_original.tif自己构造一个简单的运动模糊图像，对其进行最大熵复原。MatLab代码如下：

clear; clear all;
im=imread('Circuit_original.tif');%读入原始图像
%figure,imshow(im);title('original');%显示原始图像
LEN=5; THETA=10;
PSF=fspecial('motion',LEN,THETA);  %点扩展函数，假设的真实的PSF
blurred_image=imfilter(im,PSF,'circular','conv');   %卷积生成模糊图像,h1为对应的点扩展函数，对任意类型数组或多维图像进行滤波。
blurred_image=im2double(blurred_image);
mask=ones(size(blurred_image));%掩模图像支持
n=200;         %迭代次数
lambda=zeros(size(blurred_image));%lambda参数初始化为0，此时熵最大，但不满足约束方程
blurred_image=blurred_image+mean2(blurred_image)/1000;%保证大于0
totd=sum(sum(blurred_image));
for i=1:n  deblurred=exp(conv2(lambda,PSF,'same'));%卷积和指数运算  deblurred=deblurred/sum(sum(deblurred));%归一化  reblurred=conv2(deblurred,PSF,'same');%重模糊化图像  scale=sum(sum(reblurred.*mask))/totd;%动态归一化因子  %修正lambda的值  if i<100  lambda=lambda+(blurred_image*scale-reblurred).*mask;%前面50次迭代选择(g-h*reblured)作为修正项  else  reblurred=0.00001*(reblurred==0)+reblurred;  lambda=lambda+log(blurred_image*scale./reblurred).*mask;%后面选择ln(g)-ln(h*reblured)作为修正项  end
end
deblurred_image=deblurred/scale-mean2(blurred_image)/1000;%减去前面的增量
subplot(1,2,1);imshow(blurred_image,[]);title('motion   blurred   image');  %显示运动模糊化图像
subplot(1,2,2);imshow(deblurred_image,[]);title('max extropy deblurred image');%显示去模糊化后的恢复图像

实验结果

从上图可以看出，运动模糊后的图像，经过最大熵算法处理之后，效果改进明显。验证了代码的有效性。

完整实验代码，公众号后台回复：数字图像作业一。

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