一 相关函数

%符号积分

int(f,v)

int(f,v,a,b)

%数值积分

trapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分

cumtrapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分

quad(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Simpson法计算积分

quad1(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Lobatto法求数值积分

dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%二重(闭型)数值积分指令

triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%三重(闭型)数值积分指令

二.示例:

例1:计算f(t)=exp(-t^2)在[0,1]上的定积分

本例演示:计算定积分常用方法

>>symsx

int(exp(-x^2),0,1)

ans=

1/2*erf(1)*pi^(1/2)　%erf为误差函数

>>vpa(int(exp(-x^2),0,1))

ans=

.7468241328124270

>>d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2))

ans=

0.7468

>>quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8)

ans=

0.7468

例2:计算f(t)=1/log(t)在[0,x],0

注意:被积函数于x=0无义,在x-->1^-处为负无穷

本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令

(1)

symstx

ft=1/log(t);

sx=int(ft,t,0,x)

sx=

-Ei(1,-log(x))　%完全椭圆函数

(2)

x=0.5:0.1:0.9

sx_n=-mfun('Ei',1,-log(x))

x=

0.5000　　0.6000　　0.7000　　0.8000　　0.9000

sx_n=

-0.3787　-0.5469　-0.7809　-1.1340　-1.7758

(3)%图示被函数和积分函数

clf

ezplot('1/log(t)',[0.1,0.9])

gridon

holdon

plot(x,sx_n,'LineWidth',3)

Char1='1/ln(t)';

Char2='{int_0^x}1/ln(t)dt';

title([Char1,'　and　　',Char2])

legend(Char1,Char2,'Location','SouthWest')

例3:计算f(t)=exp(-sin(t))在[0,4]上的定积分

注意:本题被函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题!

本例演示:符号计算有限性

(1)符号计算解法

symstx

ft=exp(-sin(t))

sx=int(ft,t,0,4)

ft=exp(-sin(t))

Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.

>Insym.intat58

sx=

int(exp(-sin(t)),t=0..4)

(2)数值计算解法

dt=0.05;　　　　　　　　　　%采样间隔

t=0:dt:4;　　　　　　　　　　　%数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点

Ft=exp(-sin(t));

Sx=dt*cumtrapz(Ft);　　　　　　%计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得

Sx(end)　　　　　　　　%所求定积分值

%图示

plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)

holdon

plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)

holdoff

xlabel('x')

legend('Ft','Sx')

>>ans=

3.0632

例4:绘制积分图形,y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);积分s(x)=int(y,t,0,x)于[0,4*pi]上

symsttao

y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);

s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t);　　%获得积分函数

subplot(2,1,1)

%

ezplot(y,[0,4*pi]),ylim([-0.2,0.7])　%单变量符号函数可视化,多变量用ezsurf

gridon

subplot(2,1,2)

ezplot(s,[0,4*pi])

gridon

title('s=inty(t)dt')