应用MATLAB符号积分运算实现复变函数积分计算

本文简单介绍如何应用MATLAB的符号运算功能，来实现复变函数积分。主要方法是将复变函数的积分问题化为定积分，然后应用MATLAB的符号运算完成有关定积分的计算。

1. 解析函数的积分

设解析函数（满足Cauchy-Riemann条件）为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+{\rm i} v(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iyz=x+{\rm i} yz=x+iy ，积分上下限分别为z0=x0+iy0,z1=x1+iy1z_0=x_0 +{\rm i}y_0, z_1=x_1+{\rm i}y_1z0=x0+iy0,z1=x1+iy1，此时复变函数积分
I=∫z0z1f(z)dz=∫(x0,y0)(x1,y1)(u(x,y)+iv(x,y))d(x+iy)I=\int_{z_0}^{z_1}f(z){\rm d}z=\int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}(u(x,y)+{\rm i}v(x,y)) {\rm d}(x+{\rm i} y) I=∫z0z1f(z)dz=∫(x0,y0)(x1,y1)(u(x,y)+iv(x,y))d(x+iy)
将上式右边的实部和虚部分开，可得
I=∫(x0,y0)(x1,y1)u(x,y)dx−v(x,y)dy+i∫(x0,y0)(x1,y1)v(x,y)dx+u(x,y)dyI=\int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}u(x,y){\rm d}x-v(x,y){\rm d}y+{\rm i}\int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}v(x,y){\rm d}x+u(x,y){\rm d}y I=∫(x0,y0)(x1,y1)u(x,y)dx−v(x,y)dy+i∫(x0,y0)(x1,y1)v(x,y)dx+u(x,y)dy
因为f(z)f(z)f(z)为解析函数，积分与路径无关，将积分路径取为拆线路径。上式可化为4个定积分。
I=∫x0x1u(x,y0)dx−∫y0y1v(x1,y)dy+i(∫x0x1v(x,y0)dx+∫y0y1u(x1,y)dy)I=\int_{x_0}^{x_1}u(x,y_0){\rm d}x-\int_{y_0}^{y_1}v(x_1,y){\rm d}y+{\rm i}\left(\int_{x_0}^{x_1}v(x,y_0){\rm d}x+\int_{y_0}^{y_1}u(x_1,y){\rm d}y\right) I=∫x0x1u(x,y0)dx−∫y0y1v(x1,y)dy+i(∫x0x1v(x,y0)dx+∫y0y1u(x1,y)dy)

以上过程应用MATLAB符号运算实现，其代码如下

%创建符号变量x,y
syms x real;
syms y real;
z=x+i*y; % 创建复变量
f=z^2; % 定义复变函数，注意要求是解析函数z0=0; %给出积分下限
z1=3+3*i; %给出积分上限
complex_int(f,z0,z1) %应用积分函数complex_int进行积分运算%定义积分求解函数complex_int
function v_int=complex_int(f,z0,z1)
% 本积分计算函数求解符号积分
% f被积分函数
% z0,z1分别为积分上限和积分上限%定义函数内部的积分变量x,ysyms x real;syms y real;u=real(f); %提出被积函数实部v=imag(f); %提出被积函数虚部%提取积分上限和下限的实部及虚部   x0=sym(real(z0)); x1=sym(real(z1));y0=sym(imag(z0));y1=sym(imag(z1));    real_part=simplify(int(subs(u,y,y0),x,x0,x1)-int(subs(v,x,x1),y,y0,y1));%积分值的实部imag_part=simplify(int(subs(v,y,y0),x,x0,x1)+int(subs(u,x,x1),y,y0,y1));%积分值的虚部v_int=real_part+i*imag_part;% 返回得到的积分值
end

计算结果为

ans =
- 18 + 18i

2. 一般复变函数的曲线积分

设有向曲线C：
z=z(t)=x(t)+iy(t),(t0≤t≤t1),z=z(t)=x(t)+{\rm i}y(t), (t_0\leq t \leq t_1), z=z(t)=x(t)+iy(t),(t0≤t≤t1),
f(z)f(z)f(z)在曲线C上连续，则有
∫Cf(z)dz=∫t0t1f[z(t)]z′(t)dt\int_C f(z) {\rm d}z=\int_{t_0}^{t_1} f[z(t)]z'(t){\rm d}t ∫Cf(z)dz=∫t0t1f[z(t)]z′(t)dt
或者
∫Cf(z)dz=∫t0t1Re{f[z(t)]z′(t)}dt+i∫t0t1Im{f[z(t)]z′(t)}dt\int_C f(z) {\rm d}z=\int_{t_0}^{t_1}{\rm Re}\{ f[z(t)]z'(t)\}{\rm d}t+{\rm i}\int_{t_0}^{t_1}{\rm Im}\{ f[z(t)]z'(t)\}{\rm d}t ∫Cf(z)dz=∫t0t1Re{f[z(t)]z′(t)}dt+i∫t0t1Im{f[z(t)]z′(t)}dt
这样，就可以将复积分化为两个定积分来表示。应用MATLAB符号积分，代码如下：

syms t real; %定义符号变量%积分曲线C参数方程为
x=t;
y=t^2;z=x+i*y;
dz=diff(z,t);
f=z^2; % 定义复变函数
%曲线C中参数t的变化范围tspan=[t0,t1]=[0,1]
complex_int(f,dz,[0,1])function v_int=complex_int(f,dz,tspan)
% 本积分函数实现复变函数在积分曲线C上积分计算
% f被积分函数，dz为导数dz/dt
% tspan为曲线C的参数方程中参数的取值区间syms t real;% 定义符号变量ref=real(f*dz);imf=imag(f*dz);t0=sym(tspan(1)); % 取出积分上限t1=sym(tspan(2)); % 取出积分上限real_part=simplify(int(ref,t,t0,t1)); %符号积分结果的实部imag_part=simplify(int(imf,t,t0,t1)); %符号积分结果的虚部v_int=real_part+i*imag_part;
end

计算结果为

ans =
- 2/3 + 2i/3

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