一个伪随机数生成算法

这几天逛程序员论坛，发现了不少好帖子，增长了不少知识，现拿其中一则为例说明。

某人提出一个问题，说怎么样能生成一亿个不重复的随机数呢？

问题表述起来很简单，似乎只要弄明白什么叫随机数以及怎样用电脑生成随机数，就能解决问题了。这俩问题大多数程序员都会，我在这里再表述一番。

随机数，个人理解为一定范围内出现的毫无规律的数，比如扔一个骰子，落在桌面上时朝上的一面所表示的数就是随机数，这个数只能是从１到６这个范围内的数，但是具体是什么数，谁也不能肯定，因为它没有规律。一组不重复的随机数，对扔骰子来说就是扔出六个不一样的数来，再比如洗一次扑克牌，洗完了之后就是５４张不重复的随机数。

第二个问题，怎么样用电脑生成随机数，只要调用某个语言的某个函数就行了。其实电脑是没办法生成一个真正的随机数的，因为电脑是高度有规律的机器，让它生成一个没规律的数，根本办不到。平时程序员用某个函数生成的随机数只是利用某个算法弄出来的伪随机数。看起来像，其实不是。能解决问题就行了。

回到这个帖子所描述的问题上来，生成一亿个不重复的随机数。那么最直接的算法就是每用函数生成一个数，就把它放在一个筐里，第一个数直接放到筐里，以后生成的数在放到筐里之前和筐里的每一个数比较一番，一旦发现筐里有和新生成的数一样的数时，丢掉这个新生成的数，再接着生成数。

毫无疑问，这种算法的效率是非常低的，看看其中的比较数的次数就知道了，最差的次数趋于无穷次。也就是说到后来，我几乎生成不了和以往不同的数。

当然还可以将这个算法升级为效率高得多的算法，每生成一个数，就把这个数从随机数生成器取的范围中去掉，比如我要生成１０个随机数，第一次生成了一个３，我就把３从随机数的范围中去掉，第二次只从１到９这个范围内找。３对应４，４对应５……９对应１０。这样就不存在比较这个环节了，然而又多出一个对应的环节，每生成一个数之后就要把剩下的数重新对应一遍，效率也不容乐观。

目前以我为代表的普通程序员的想象力也就到此为止了，想不出什么高级解决办法了，就当扔了一块砖头出来。下面就把真正的碧玉，一个数学家级程序员的算法，请出来。

我们先用另一种眼光来看不重复的随机数：加密。把一个能看懂的英文字符串打乱字母的顺序，变成不可读的，这就是加密。但是必须得有规律地打乱，字母a对应另外一个固定的字母Ax,字母b对应另外一个固定的字母Bx，以此类推，而且必须是一一对应的。那么字符串“ab……z”这26个字母对应的26个加密字母“AxBx……Zx”就可以看成是对应范围a到z的不重复的伪随机数，这就是数学家的算法的来源。

看看回帖者的原文：

可以采用32bit RSA算法

设A从2~(N-1)
C=（A EXP D) mod N
满足如下条件：
D是素数，N是两个素数(P,Q)之积，
(D * E) mod ((P-1) * (Q-1))=1
因为：若
C=(A EXP D)mod N
有：
A=(C EXP E) mod N
所以，C与A 一一对应。
所以，对于A=2~(N-1),有不重复，无遗漏的伪随机码Ｃ。

凡是稍微扯上一点数学，尤其是高等数学的问题，我等泛泛之辈看起来就有点费劲，这里虽然文字不长，但是还得慢慢来看。

这里面RSA算法是密码学三大算法之一(RSA、MD5、DES)，是一种不对称密码算法。说如果满足条件：D是素数，N是两个素数(P,Q)之积，(D * E) mod ((P-1) * (Q-1))=1，那么存在Ｃ与Ａ（范围从２到Ｎ－１）一一对应，且Ｃ＝(A EXP D)mod N。Ａ是一个有顺序的数，Ｃ就是一个看似无规律的伪随机数。Mod运算表示求模，例如7Mod3=1。意思是７除以３余１。类似地8Mod3=2,9Mod3=0。EXP表示前面数的后面数次方，ＡEXPＤ表示Ａ的Ｄ次方。这两个运算清楚了，其它的也就没什么困难的了，*是乘法的意思，大多数理科生都清楚。

搜了一下网络，还得加上一些条件，1,Ｐ和Ｑ不能一样。2,e<(Ｐ-1)(Ｑ-1)且e与（Ｐ-1）(Ｑ-1)的最大公因数为１。

下面用一个例子来试验一下，看看这个算法有多神奇。

设Ｎ＝１５，Ｐ＝５，Ｑ＝３，则Ａ为２到１４的数。现在要产生２到１４的伪随机数。取Ｄ为３，E为３，Ｃ２＝（２EXP３）mod１５ = 8,

Ｃ３＝（３EXP３）mod １５ = １２,

Ｃ４＝（４EXP３）mod １５= ４，

Ｃ５＝（５EXP３）mod １５= ５，

Ｃ６＝（６EXP３）mod １５= ６，

Ｃ７＝（７EXP３）mod １５= １３，

Ｃ８＝（８EXP３）mod １５= ２，

Ｃ９＝（９EXP３）mod １５= ９，

Ｃ１０＝（１０EXP３）mod １５= １０，

Ｃ１１＝（１１EXP３）mod １５= １１，

Ｃ１２＝（１２EXP３）mod １５= ３，

Ｃ１３＝（１３EXP３）mod １５= ７，

Ｃ１４＝（１４EXP３）mod １５= １４。

比较完美。如果数再大一点，可能看起来更随机一些。

由这个算法产生的１亿的伪随机数，效率那可是相当的高，只不过运算时要用到大数运算库。在一些讲求效率的场合应用的话，再做一些对应上的处理，升级一下算法，那定是相当的完美。

由此可以看出，算法的优化，如果仅仅停留在大脑能够想象到的小学数学的阶段，那是远远达不到要求的。一个优秀的程序员，还需要加深对离散数学的理解，虽然，这次提到的算法已经深入到了数论的层次上了，但是RSA算法已经是应用非常广泛的算法了，对其稍加变通，便可以发挥出更加不可思议的作用。程序员还是需要多学习算法，多学习数学，才能发挥出超出一般程序员的不可思议的能力。

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