文章目录

0 笔记说明
1 书本内容
- 1.1 线性空间
- 1.2 基与坐标、坐标变换
- 1.3 线性子空间
- 1.4 线性映射
- 1.5 线性映射的值域、核
- 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算
- 1.7 n维线性空间的同构
- 1.8 线性变换的特征值与特征向量
- 1.9 线性变换的不变子空间
- 1.10 矩阵的相似对角形
2 听课笔记
- 2.1 线性空间
- 2.2 基与坐标、坐标变换
- 2.3 线性子空间
- 2.4 线性映射
- 2.5 线性映射的值域、核
- 2.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算
- 2.7 n维线性空间的同构
- 2.8 线性变换的特征值与特征向量
- 2.9 线性变换的不变子空间
- 2.10 矩阵的相似对角形

0 笔记说明

参考书籍为：

本笔记主要是为了方便自己日后复习。由于未学习LaTeX，我会上传教材图片或者手写图片代替部分公式或内容。博客主要分为两部分：【1 书本内容】与【2 听课笔记】，前者为对教材中重要定理、定义的整理，后者为自己在矩阵上课时的笔记的二次书面整理。根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。

本篇博客是关于第一章的内容，下面开始即为正文。

1 书本内容

本篇博客将简要地介绍线性空间，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F。

1.1 线性空间

1、线性空间：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义了加法运算，即对于V中任意两个元素α与β，在V中都有唯一的元素v与它们相对应，称之为α与β的和，记为v=α+β，并且加法运算满足下面四条法则：

（1）交换律：α+β=β+α；

（2）结合律：α+(β+γ)=(α+β)+γ；

（3）零元素：在V中有一元素0（称作零元素），对于V中任一元素α都有α+0=α；

（4）负元素：对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α+β=0。

上面四条法则中，α、β、γ为V中的任意三个元素，α、β、γ∈V。除此之外，在集合V中的元素与数域F中的数之间还定义了一种运算，叫做数乘，即对于V中任一元素α与F中任一数k，在V中有唯一的一个元素η与它们对应，称为k与α的数乘，记为η=k·α=kα，并且数乘运算满足下面四条法则：

（1）1·α=α；

（2）(kl)α=k(lα)；

（3）(k+l)α=kα+lα；

（4）k(α+β)=kα+kβ。

上面四条法则中，k，l为F中的任意两个数，k、l∈F。则称集合V为数域F上的线性空间。

2、矩阵的核空间/零空间：设A为实数域（或复数域）上的m×n阶矩阵，易证：齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合构成实数域（或复数域）上的线性空间。此空间为方程组Ax=0的解空间，也称为矩阵A的核空间或零空间，用N(A)表示。

3、矩阵的值域/列空间：设A为实数域（或复数域）上的m×n阶矩阵，x为n维列向量，则m维列向量集合V={y∈R^m(或C^m) I y=Ax,x∈Rⁿ(或Cⁿ),A∈R^m×n(C^m×n)}构成实数域（或复数域）上的线性空间，称为A的列空间或A的值域，用R(A)表示。

4、线性表示/线性组合：设V是数域F上的线性空间，α₁,α₂,…,α_r是V中的任意一组向量（其中r≥1），k₁,k₂,…,k_r是数域F中的一组数。若向量α可以表示成α=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r，则称α可由α₁,α₂,…,α_r线性表示或线性表出，同时也可以称α是α₁,α₂,…,α_r的线性组合。

5、线性相关/线性无关：设α₁,α₂,…,α_r是线性空间V中的一组向量（其中r≥1）。如果在数域F中有r个不全为零的数k₁,k₂,…,k_r，使得k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0，则称α₁,α₂,…,α_r线性相关。如果一组向量α₁,α₂,…,α_r不线性相关，就称为线性无关。换言之，若k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0当且仅当k₁=k₂=…k_r=0，便称α₁,α₂,…,α_r线性无关。一组向量要么线性相关，要么线性无关，非此即彼。

6、线性表出唯一定理：设线性空间V中向量组α₁,α₂,…,α_m线性无关，且向量组α₁,α₂,…,α_m,β线性相关，则β可由α₁,α₂,…,α_m线性表出，且表出是唯一的。

1.2 基与坐标、坐标变换

1、基、坐标、维数：设数域F上的线性空间V中有n个线性无关向量α₁,α₂,…,α_n，而且V中任何一个向量α都可由α₁,α₂,…,α_n线性表出：α=k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n，则称α₁,α₂,…,α_n为V的一个基，(k₁,k₂,…,k_n)^T为α在基α₁,α₂,…,α_n下的坐标，称V为n维线性空间，并记dimV=n。

2、过渡矩阵：设α₁,α₂,…,α_n与β₁,β₂,…,β_n是V中的任意两个基，它们之间的关系是：

上图中i=1,2,…,n。将这n个关系式用矩阵记号可以表示成：

记n阶方阵为P：

称矩阵P是由基α₁,α₂,…,α_n到基β₁,β₂,…,β_n的过渡矩阵。矩阵P一定是可逆的，所以由基β₁,β₂,…,β_n到基α₁,α₂,…,α_n的过渡矩阵为P^-1。可写成(β₁,β₂,…,β_n)=(α₁,α₂,…,α_n)P或者(α₁,α₂,…,α_n)=(β₁,β₂,…,β_n)P^-1。

3、坐标变换：设ξ∈V，若ξ在基α₁,α₂,…,α_n与β₁,β₂,…,β_n下的坐标分别为(x₁,x₂,…,x_n)^T与(y₁,y₂,…,y_n)^T，即若有：

则有：

其中，矩阵P是由基α₁,α₂,…,α_n到基β₁,β₂,…,β_n的过渡矩阵。称上图的两个公式为坐标变换公式。

4、使用可逆矩阵将旧的一个基变成新的一个基：设α₁,α₂,…,α_n为线性空间V的一个基，A为可逆矩阵，记(α₁,α₂,…,α_n)P为β₁,β₂,…,β_n，即(β₁,β₂,…,β_n)=(α₁,α₂,…,α_n)P，则β₁,β₂,…,β_n也为V的一个基。

1.3 线性子空间

1、线性子空间：设W是数域F上的线性空间V的一个非空子集，若W关于V的加法和数乘运算也构成线性空间，则称W是V的一个线性子空间，简称为子空间，dim W ≤ dim V。

2、平凡子空间：在线性空间V中，由单个零向量“0”构成的集合是一个线性子空间，称为V的零子空间。在线性空间V中，V本身也可看成是一个线性子空间。这两个子空间称为V的平凡子空间，其他子空间称为为非平凡子空间。

3、生成子空间：设α₁,α₂,…,α_s是线性空间V中一组向量，则集合span{α₁,α₂,…,α_s}={k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s|∀k_i∈F}是非空集合，则span{α₁,α₂,…,α_s}是V的线性子空间。称非空子集span{α₁,α₂,…,α_s}是由向量α₁,α₂,…,α_s生成的生成子空间。

4、生成子空间的维数：dim span{α₁,α₂,…,α_s}=rank{α₁,α₂,…,α_s}，其中rank{α₁,α₂,…,α_s}是向量组α₁,α₂,…,α_s的秩。向量组α₁,α₂,…,α_s的任何一个极大线性无关组均可作为span{α₁,α₂,…,α_s}的一个基。

5、生成子空间之间的等价：若α₁,α₂,…,α_s与β₁,β₂,…,β_t都是n维向量组，则span{α₁,α₂,…,α_s}=span{β₁,β₂,…,β_t}⇔α₁,α₂,…,α_s与β₁,β₂,…,β_t等价，即α₁,α₂,…,α_s与β₁,β₂,…,β_t可以互相线性表示。

6、交空间与和空间：设V₁，V₂是线性空间V的两个子空间，命V₁∩V₂={αlα∈V₁且α∈V₂}，则V₁∩V₂构成V的线性子空间。称V₁∩V₂为V₁与V₂的交空间。命V₁+V₂={α=α₁+α₂lα₁∈V₁且α₂∈V₂}，则V₁+V₂构成V的线性子空间。称V₁+V₂为V₁与V₂的和空间。

7、生成子空间的和：设V₁=span{α₁,α₂,…,α_s}，V₂=span{β₁,β₂,…,β_t}，则V₁+V₂=span{α₁,α₂,…,α_s,β₁,β₂,…,β_t}。

8、维数公式：设V₁与V₂是线性空间V的两个子空间，则dimV₁+dimV₂=dim(V₁+V₂)+dim(V₁∩V₂)。

9、直和：如果W₁+W₂中的任何一个向量均可以唯一分解成W₁和W₂中的两个向量之和，则称W₁+W₂为直和，记为W₁⊕W₂。

10、直和的判定：设W₁，W₂是线性空间V的两个子空间，则下列命题等价：① W₁+W₂是直和；② 0的分解唯一；③ W₁∩W₂={0}；④ dim(W₁+W₂)=dim(W₁)+dim(W₂)；⑤ W₁，W₂的基一起构成W₁+W₂的基。

11、直和分解与代数补：设W，W₁，W₂是线性空间V的三个子空间，且W=W₁⊕W₂，则称W有一个直和分解。特别地，若W=V=W₁⊕W₂，便称W₁和W₂是线性空间V的一对互补的子空间，或称W₁是W₂的代数补子空间，也可称W₂是W₁的代数补子空间。

12、代数补子空间存在定理：设U是线性空间V的一个子空间，则一定存在U的代数补子空间W，使得V=U⊕W。

1.4 线性映射

1、线性映射：设V₁，V₂是数域F上的两个线性空间，映射

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