BZOJ2407:探险/BZOJ4398:福慧双修-最短路+分治

两道都是权限题…

题意：

给出一张n个点，m条边的图，同一条边不能走两次，每条边正着走与反着走所需要的时间可能不同，求一个从1开始的大于一个点的最短环

N<=10000,M<=200000,1<=W,V<=10000N<=10000,M<=200000,1<=W,V<=10000N

Solution:

网上的题解都是构造…然而并不是很理解

听学长讲了一种神奇的解法，感觉非常妙：

我们可以发现，我们走出一步后，就会变成一个裸的最短路问题，所以最暴力的解法就是枚举从1开始能到达的点，然后从这个点开始走最短路（不经过来时的点）即可

现在我们想办法去优化这个算法：

我们把求出的环中与1相连的两个点称作x,y

考虑分治，每次把点分成两部分，一部分的与1相连的点只连1到这个点的边，另一部分只连这个点到1的边，这样跑最短路我们可以求出x和y分别在这两部分的点，但是可能最优解的x和y在同一侧，把左右两边递归分治处理即可

但是这样复杂度好像更劣了…

但是会发现每次分治时跑最短路只会处理小部分点，但是我们跑的是整个图，在这里严重浪费了时间，所以说有一个大胆的想法：能否在分治的每一层，把所有的分治情况都放在同一个图中呢？

答案是可行的，因为每个分治都是相对独立的，放在一块不会影响最优性。

但是看起来不好处理啊…

其实通过二进制的每一位来分治是非常完美的，具体为什么大家可以打个二进制表来直观感受一下

枚举二进制的每一位，把点分成这一位为0的和这一为位1的，最后跑最短路即可，具体实现可以看代码

总复杂度O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n\log^2 n)

虽然比构造新图的解法要劣，但是很好理解不是么QWQ

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<ctime>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
int n,m,size;
int bg[200010],ed[200010];
struct G{int x,y,s,t;
}E[200010];
int head[40010],dis[40010],ans=1e9;
bool v[40010];
struct edg{int to,next,v;
}e[400010];
void add(int x,int y,int v){size++;e[size]={y,head[x],v};head[x]=size;}
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
void dij()
{while (!q.empty()){int x=q.top().second;q.pop();if (v[x]) continue;v[x]=1;for (int i=head[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].to;if (v[y]) continue;if (dis[y]>dis[x]+e[i].v) dis[y]=dis[x]+e[i].v,q.push(make_pair(dis[y],y)); }}
}
void solve(int j)
{for (int i=1;i<=n;i++) v[i]=0,dis[i]=1e9;for (int i=1;i<=n;i++){if (ed[i]&&(!((i>>j)&1))) dis[i]=bg[i],q.push(make_pair(dis[i],i));}dij();for (int i=2;i<=n;i++) if (ed[i]&&((i>>j)&1)) ans=min(ans,dis[i]+ed[i]);for (int i=1;i<=n;i++) v[i]=0,dis[i]=1e9;for (int i=1;i<=n;i++){if (ed[i]&&((i>>j)&1)) dis[i]=bg[i],q.push(make_pair(dis[i],i));}dij();for (int i=2;i<=n;i++) if (ed[i]&&(!((i>>j)&1))) ans=min(ans,dis[i]+ed[i]);
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d%d",&E[i].x,&E[i].y,&E[i].s,&E[i].t);if (E[i].x==E[i].y) continue;if (E[i].x>E[i].y) swap(E[i].x,E[i].y),swap(E[i].s,E[i].t);if (E[i].x==1) bg[E[i].y]=E[i].s,ed[E[i].y]=E[i].t;else add(E[i].x,E[i].y,E[i].s),add(E[i].y,E[i].x,E[i].t);}for (int i=0;i<=16;i++) solve(i);if (ans<1e9)printf("%d",ans);else printf("-1");
}

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